Welche der folgenden Teilmengen von Vektorraum R^n sind Unterräume ?

Question

Welche der folgenden Teilmengen sind Unterr¨aume des Vektorraums Rⁿ, n ≥ 1?
(a) {(a1, · · · , an) ∈ Rⁿ | a1 ≤ 0}.
(b) {(a1, · · · , an) ∈ Rⁿ | a1an = 0}.
(c) {(a1, · · · , an) ∈ Rⁿ | a1 + · · · + an = 0}.
(d) {(a1, · · · , an) ∈ R^n | a^2₁ + · · · + a^2_n=0}.
(e) {(a1, · · · , an) ∈ Rⁿ  | a1 = · · · = an}.
(f) {(a1, · · · , an) ∈ Rⁿ  l a1 ≤ · · · ≤ an}.

Aufgabe a-d habe ich schon gelöst. Kann mir bitte jemand bei e und f helfen?

Answer 1

f kannst mit -1 multiplizieren.

e ist isomorph zu ℝ.

Comments

könntest du es mir vielleicht ein bisschen genauer erklären? weil wir sollen dies immer anhand der drei Kriterien erklären heißt:

1. W ungleich ∅.
2. Für alle w1,w2 ∈ W ist w1 + w2 ∈ W . 
3. Für λ ∈ K und w ∈ W gilt λw ∈ W .

Das e und f ungleich der leeren Menge ist, hae ich schon erkannt. Bloß bei den anderen beiden Kriterien komme ich nicht weiter :(

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f kannst mit -1 multiplizieren.

In welchem deiner Kriterien kommt eine Multiplikation vor?

Was bewirkt die Multiplikation einer Ungleichung mit einer negativen Zahl?

e ist isomorph zu ℝ.

{(a1, · · · , an) ∈ Rn  | a1 = · · · = an} = {a·(1, ..., 1) ∈ ℝⁿ | a ∈ ℝ}

Ist a·(1, ..., 1) ∈ ℝⁿ  und b·(1, ..., 1) ∈ ℝⁿ dann ist a·(1, ..., 1) + b·(1, ..., 1) ∈ ℝn  wegen Distributivgesetz

Ist a·(1, ..., 1) ∈ ℝⁿ  und b ∈ ℝⁿ dann ist b·(a·(1, ..., 1)) ∈ ℝⁿ  wegen Assoziativgesetz.

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Zu f:

Bei 3 kommt die Multiplikation vor mit λ×a∈W. Das multiplizieren mit einem negativen A würde bedeuten, dass das ganze kein Element von w mehr ist. Stimmt das?

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Das multiplizieren mit einem negativen A würde bedeuten, dass das ganze kein Element von w mehr ist.

Stimmt so. Eine Begründung wäre nicht schlecht.