Quadratische Gleichung aus Nullstellen

Question

gegeben ist: "Die quadratische Funktion f(x)=x²+bx+c habe die Nullstellen x₁=-0,4 und x₂=a. Bestimmen Sie die Funktionsgleichung und stellen Sie diese in der Scheitelpunktform dar."

Soweit sogut. Nur das x₂ eine Variable ist stört mich bei der Lösung.

Bei meinem Lösungsversuch erstelle ich mir zunächst aus den Nullstellen zwei Gleichungen (mit zwei Unbekannten).

I: 0,16-0,4b+c=0

II: a²+ab+c=0

Die Stelle ich um, sodass die Parameter auf einer Seite und die Absolutwerte auf der anderen Seite stehen.

I: -0,4b+c = -0,16

II: ab+c = -a²

Nun rechne ich I-II um das c loszuwerden und komme auf:

(-0,4-a)*b = -0,16-a².   |:(-0,4-a)

b= (-0,16-a²)/(-0,4-a)

Spätestens hier habe ich das Gefühl auf dem Holzweg zu sein. Wenn ich das nun in I einsetze, käme ich auf:

0,16-0,4*[(-0,16-a²)/(-0,4-a)]+c=0  |-0,16 |:(-0,4)

(-0,16-a²)/(-0,4-a) + c = (-0,16)/(-0,4) <=> (-0,16-a²)/(-0,4-a) = 0,4  |-[(-0,16-a²)/(-0,4-a)]

c=0,4-(-0,16-a²)/(-0,4-a)

Die Werte für b und c nun wieder in eine Gleichung zu pressen, würde meines Erachtens zu komplex werden. Wie gesagt, bin ich gefühlt beim Ergebnis für b ausgestiegen. Könnte mir hier bitte einer weiterhelfen, wie ich die Funktionsgleichung aus den Nullstellen heraus bestimme, wenn eine der Nullstellen eine Variable ist?

Wolfgang

Answer 1

Hallo giotto,

mit den Nullstellen x₁ und x₂  einer quadratischen Funktion  f(x) = x² + px + q   gilt

p = - (x₁ + x₂)  und  q = x₁ ·x₂   , hier also   p = - (-0,4 + a) = 0,4 - a   und q = - 0,4a

f(x) = x² + (0,4 - a)·x - 0,4a

      = x² -  (a - 0,4)·x + ( a/2 - 0,2)²  - (a/2 - 0,2)² - 0,4a

       =  [ x - (a/2 - 0,2) ]² - ( 0.25·a² + 0.2·a + 0.04)    (Scheitelpunktform)

               mit  S( a/2 - 0,2 | - (0.25·a² + 0.2·a + 0.04) ) 

Gruß Wolfgang

Answer 2

f(x)=x^{2}+bx+c habe die Nullstellen x_(1)=-0,4 und x_(2)=a
Beginne mit der faktorisierten Form der Funktionsgleichung.
f(x) = (x + 0.4)(x - a)
Diese kannst du ausmultiplizieren und dann in Scheitelpunktform umwandeln.
Die Scheitelstelle ist aus Symmetriegründen x_(s) = (x_(1) + x_(2))/2 .
D.h. x_(s) = (a - 0.4)/2 .
y_(s) kannst du dann über den obigen Ansatz noch ausrechnen als
y_(s) = f(x_(s)) =  (x_(s) + 0.4)(x_(s) - a)

Comments

Danke für den Hinweis x_s=(x₁+x₂)/2. Der war hilfreich zum Verstehen, wie ich die Aufgabe lösen kann.

Answer 3

f ( x ) = (x + 0.4)*(x - a)
f ( x ) = x^2 + ( 0.4 - a ) * x - 0.4*a
Subs : 0.4-a = z
f ( x ) = x^2 + z * x - 0.4*a  | quadr.Ergänzung
f ( x ) x^2 + z * x + (z/2)^2 - (z/2)^2 - 0.4*a
f ( x ) = ( x + z/2 ) ^2 - (z/2)^2 - 0.4*a
f ( x ) = ( x + (0.4-a)/2 ) ^2 - ((0.4-a)/2)^2 - 0.4*a
f ( x ) = ( x + (0.4-a)/2 ) ^2 - [ ((0.4-a)/2)^2 + 0.4*a ]

S ( a/2 - 0.2 | ((0.4-a)/2)^2 + 0.4*a )