Lineare Unabhängigkeit im R^{2}- Verstehe Anmerkung nicht.

Question

Anmerkung:

Es lässt sich zeigen, dass es in der Ebene maximal zwei linear unabhängige Vektoren gibt (daher stammt auch die Bezeichnung "2-dimensionaler" Raum für die Ebene), mehr als zwei Vektoren sind immer linear abhängig. 


Wie ist diese Anmekrung zu verstehen?

Bedeutet dies, dass es un der Ebene maximal zwei linear unabhängige Vektoren geben kann, weil ein weiterer dritter entweder eine Lnearkombination dieser Vektoren wäre oder wie?


Überlegung:

Drei Vektoren in der Ebene ergäbten einen Nullvektor ⇒ Lineare Abhängigkeit ?

Answer 1

Wie ist diese Anmekrung zu verstehen?

Bedeutet dies, dass es un der Ebene maximal zwei linear unabhängige Vektoren geben kann, weil ein weiterer dritter entweder eine Lnearkombination dieser Vektoren wäre oder wie?

richtig.

Überlegung:

Drei Vektoren in der Ebene ergäbten einen Nullvektor ⇒ Lineare Abhängigkeit ?

Zwei linear unabhängige Vektoren u und v bilden eine Basis des R^2. D.h. man kann mit ihnen jeden beliebigen Vektor w der Ebene ausdrücken. D.h. es gibt reelle Zahlen a und b so dass gilt:

au + bv = w

Nun kannst du umformen:

au + bv = w |-w

au + bv - w = 0        Nullvektor.

Mit den reellen Faktoren a, b und c= (-1) hast du somit den Nullvektor als Linearkombination au + bv + cw von u, v und w dargestellt.

Anm. Vektoren sind fett dargestellt.

Comments

Der Nullvektor wäre somit nicht-trivial, oder?

---

Der Nullvektor wäre somit als nicht-triviale Linearkombination der Vektoren u, v und w dargestellt. Ja. 

Grund c = -1 ≠ 0