Gewinnmaximale Ausbringungsmenge x berechnen

Question

Die Aufgabe lautet:

Gegeben sin die Kostenfunktion K(x)= 0,04x³ - 0,6x² + 3x + 2 und die Preis-Absatz-Funktion pn: p(x)= - 0,16x + 2,8.

Ermitteln Sie die gewinnmaximale Ausbringungsmenge x.

Als Lösung soll rauskommen: 7,09 ME

Ich habe alles so gemacht, wie es eigentlich gehen sollte. G(x) berechnet, 1. Ableitung G'(x), die dann 0 gesetzt, und dann im Taschenrechner ausgerechnet. Die beiden Ergebnisse in die G''(x) eingesetzt um HP und TP rauszufinden und das meiner Meinung nach richtige in die Randfunktion wieder eingesetzt und trotzdem komme ich nicht auf das Ergebnis. >.<

:c

Answer 1

G(x) = E(x) - K(x) = p(x) * x - K(x)

        = ( - 0,16x + 2,8) * x - (  0,04x³ - 0,6x² + 3x + 2 )

Edit:     Hatte hier aus Versehen 6 statt 0,6 bei meinem Rechner eingetippt. Das Folgende ist korrigiert.

        = - 0,04 · ( x³ - 11·x² + 5·x + 50) 

G '(x) = - 0,04·(3·x² - 22·x + 5)  = 0

x = 7.098543380 ∨ x = 0.2347899529

                →     x_max ≈ x = 7.098543380  [ME]   [ x_min ≈ 0.2347899529 ]

 ( bei negativem Koeffizient bei x³ haben Funktionen 3. Grades ggf. zuerst Min, dann Max )

G(xmax) ≈  4.443960873  [GE]    bei  7.098543380 ME

Weiter runden musst du ggf. nach euren Vorschriften.

Gruß Wolfgang

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Aber dann komme ich ja trotzdem nicht 7,09 ME raus.

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Tut mir, aber ich kann bei mir keinen Fehler finden. Werde es später noch mal nachrechnen.

Du solltest mal deine Angaben vergleichen, die du eingetippt hast (?)

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Habe mir meinen Rat oben selbst zu Herzen genommen :-)

Hatte einen Eingabefehler beim Rechner.

Habe das in der Antwort korrigiert. 

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Ich hab jetzt meinen Fehler gefunden

Answer 2

ich habe das auch nochmal nachgerechnet und komme zum folgenden Ergebnis
$$G(x)=E(x)-K(x)\\G(x)=p(x)\cdot x-K(x)\\G(x)=(-0,16x+2,8)\cdot x-(0,04x^3-0,6x^2+3x+2)\\G(x)=-0,16x^2+2,8x-(0,04x^3-0,6x^2+3x+2)\\G(x)=-0,16x^2+2,8x-0,04x^3+0,6x^2-3x-2\\G(x)=-0,04x^3+0,44x^2-0,2x-2\\G'(x)=-0,12x^2+0,88x-0,2\\G''(x)=-0,24x+0,88\\\text{notwendige Bedingung}\\G'(x)=0\\ -0,12x^2+0,88x-0,2x=0\\{x}_{1}=\frac{11+\sqrt{106}}{3}\approx 7,099\\{x}_{2}=\frac{11-\sqrt{106}}{3}\approx 0,23\\\text{hinreichende Bedingung}\\G''(x)\neq 0\\G''(7,099)=-0,82<0 \quad\text{=>Hochpunkt =>Gewinnmaximum}\\G''(0,23)=0,82>0\quad\text{=>Tiefpunkt=>Gewinnminimum}$$

Ich hoffe das ist verständlich.

Smitty

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Bestätigung
max Ausbringmenge für den Gewinn 7.099

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Ich hab jetzt meinen Fehler gefunden