Ungleichungen beweisen, Analysis.

Question

 

Ich habe zwei Ungleichungen welche ich beweisen (resp. "zeigen") soll.

1).  p∈ℕ(und 0) und t∈ℕ, p ≤ t: (t über p)*(1/n^k) ≤ 1/k!

    Will ich nun mit Induktion beweisen und habe n=1 eingesetzt und bin auf die Ungleichung gekommen;

    1!/(k!(1-k)! ≤ 1/k   

    dies scheint mir recht klar aber ich weiss nicht wie ich dies umformen kann....

 

2).  n∈ℕ, (1+1/n)ⁿ ≤ ∑(0→∞) 1/k! ≤

      hier kann ich n=1 schnell bewahrheiten doch mit dem Folgeschritt (n → n+1) habe ich Mühe.

      Ich weiss dass ich  (1+1/(n+1))ⁿ⁺¹ so verändern kann: (1+1/(n+1))*(1+(n+1))ⁿ

      Wie ich aber im zweiten Teil der Summe das n+1 zu einem n umformen kann (und es somit aus der Ungleichung streichen kann) weiss ich leider nicht.

Kann mir jemand bei diesen beiden Beispielen eventuell ein kleiner Hinweis geben?

 

Danke für eure Hilfe,

Tulbi

Comments

Zu 1)  Das kann so nicht stimmen, da  (t über p)  beliebig groß werden kann und der Rest der Ungleichung von  t  und  p  unabhängig ist. Außerdem weiß man nicht, was  n  und  k  sein sollen.
Zu  2)  Es fehlt vermutlich ein  e  nach dem Ungleichheitszeichen.

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1). Du hast recht! Ich habe plötzlich das t durch das n ersetzt und das p durch das k.

2). Es sollte kein "kleinergleich" sondern "kleiner"-Zeichen sein und dort fehlt tatsächlich noch eine 3

Ansonsten sollte es aber eigentlich stimmen.

Danke für deine Aufmerksamkeit und entschuldige meine Unachtsamkeit.

Answer 1

Zu 2)  Nach  (1)  und dem allgemeinen binomischen Lehrsatz gilt

Man zeigt leicht per Induktion, dass für alle  k > 3  gilt  k! > 2^k. Daher lässt sich die letztgenannte Reihe durch die geometrische Reihe wie folgt abschätzen.

Comments

Zu 1)  Behauptung: Für  0 ≤ k ≤ n gilt

Beweis per Induktion über n.
Induktionsanfang: Klar für  n = 0.
Induktionsvoraussetzung: Die Behauptung gelte für ein  n.
Induktionsschritt: Nach Induktionsvoraussetzung und dem allgemeinen binomischen Lehrsatz gilt

Daraus folgt die Behauptung.

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Hallo Anonym

Danke für die ausführliche Antwort.

Der  Binomischer Lehrsatz kenn ich ja und verstehe auch vie du ihn hier angwendet hast:

(nicht verstehen kann ich warum (1/n)^k steht und nicht (1/n)^n-k)

Beim ersten Beispiel versteh ich aber nicht wie du das aus dem binomischen Lehrsatz auf die erste Gleichung kommst:

Ich kenn nur noch die Regeln; (n k)=(n n-k) und (n-1 k-1)+(n-1 k)=(n k)

Danke für deine Hilfe!