Zeigen Sie,dass folgende Ungleichungen gelten... (Analysis II)

Question

$$\begin{array}{r}{\text { Zeigen Sie, dass folgende Ungleichungen gelten }} \\ {x+\frac{1}{6} x^{3}<\sinh x \quad \text { für } x>0} \\ {\sinh x<x+\frac{1}{6} x^{3} \quad \text { für } \quad x<0}\end{array}$$

Answer 1

Betrachte mal f(x) = sinh(x) - x - x^3 / 6 .

Dann musst du ja zeigen  für x>0 ist  f(x) > 0 .

Wende Mittelwertsatz an, auf das Intervall  [0 , x ] .

Dass gibt: Es gibt z zwischen 0 und x mit

                    (f(x) - f(0)) / ( x - 0 )  = f ' (z)

<=>     f(x) / x =  f ' (z)

<=>   f(x) = f ' (z) * x

und f ' (z) = cosh(z) -1 - x^2/2 und das ist auch immer größer als 0,

denn  f '' (z) = sinh(x) - x ist nur 0 für x=0, also hat

f ' (z) sein Min bei x=0 und das beträgt 0.