Betrag und Argument von (1+i)^8 bestimmen

Question

Der Betrag lässt sich ja leicht ablesen =16 aber das Argument kann ich irgendwie nicht so leicht bestimmen.

Könnt ihr mir dies bitte erklären?

Answer 1

(1 + i) hat den winkel 45° mit der x-Achse. (1 + i)^8 hat einen 8 mal so großen winkel.

45° * 8 = 360°

Also (1 + i)^8 = 16

Answer 2

  

|1+i| = √(1² + 1² ) = √2

arg(1+i) = π/2

(1+i)⁸ = ( √2 * e^{i * π/2} )⁸  =  (√2)⁸  e^{i * 4π}

→  | (1+i)⁸ |  = (√2)⁸  = 16

       arg( (1+i)⁸ ) = 0    , weil 4π  ganzzahliges Vielfaches von 2π Ist

       (1+i)⁸ = 16

Gruß Wolfgang