Das Bildungsgesetz einer Folge natürlicher Zahlen findet man in sehr vielen Fällen über den Link https://oeis.org/?language=german . Die Folge 5, 10, 13, 17, 10, 25, 29, … findet man dort unter der Nummer A004431. Sie wird beschrieben als Folge der Summen von zwei verschiedenen Quadratzahlen. Gleichzeitig ist es auch die Folge der Hypotenusenlängen pythagoreischer Dreiecke. Pythagoreische Dreiecke sind rechtwinklige Dreiecke mit ausschließlich ganzzahligen Seitenlängen. Die drei Zahlen, welche die Seitenlängen eines pythagoreischen Dreiecks angeben, heißen “pythagoreisches Tripel“. Besonders bekannt ist das pythagoreische Tripel (3, 4, 5). Die Gleichung 3²+4²=5² ist leicht zu bestätigen. Die größte Zahl eines pythagoreischen Tripels ist immer die Hypotenusenlänge.
Unter dem Suchwort „pythagoreische Tripel“ findet man im Internet alles Wissenswerte zu diesen Zahlentripeln, insbesondere auch Formeln, welche Euklid in seinem Werk „Elemente, Buch 10“ nennt. Sie werden manchmal indische Formeln genannt, da sie explizit schon von dem indischen Mathematiker Brahmagupta (598–668) angegeben wurden.
Sucht man aber die Folge 8, 15, 21, 24, 32, 35, 40, … unter dem oben genannten Link, so erhält man die Meldung, dass diese Folge nicht gefunden wurde. Es ist die Folge ganzzahliger Seitenlängen solcher gleichseitiger Dreiecke, die sich in zwei Dreiecke ganzzahliger Seitenlängen zerschneiden lassen. So lässt sich etwa das gleichseitige Dreieck mit der Seitenlänge 8 in zwei Dreiecke mit den Seitenlängen 8, 3 und 7 sowie 8, 5 und 7 zerschneiden. Beide Dreiecke haben einen Winkel der Größe 60°, weshalb (8,3,7) und (8,5,7) auch 60°-Tripel genannt werden. Das Auffinden solcher 60°-Tripel wird unter dem Link http://monoid.mathematik.uni-mainz.de/monoid109.pdf ab Seite 15 beschrieben. Es ist klar, dass zu jedem 60°-Tripel ein zweites existiert, sodass sich beide zu einem gleichseitigen Dreieck ergänzen. Unter dem genannten Link kann man lesen, dass 60°-Tripel die Form (m²-n², 2mn-n², m²-mn+n²) haben, wobei für die natürlichen Zahlen m und n gilt m>n.
Alles, was jetzt noch zu tun bleibt, ist das Auffinden der größten Zahl innerhalb jedes 60°-Tripels. Das kann man zum Beispiel von einem kleinen Computer-Programm erledigen lassen. Dabei stellt man fest, dass die gefundenen Zahlen die Form m²-n² mit m>2 und n≤0,5·(m-1) haben. Dies führt genau zu der Folge 8, 15, 21, 24, 32, 35, 40, … .
