Hallo Donald,
Die Summenformel
$$s = x_1 \cdot \frac{1 - q^n}{1 - q}$$
gilt nur für die geometrischen Reihe
$$s = x_1 \cdot \left( 1 + q + q^2 + q^3 + \dots + q^{n-1} + q^n\right)$$ und hier gilt immer, dass
$$x_n = q \cdot x_{n-1} \quad \text{ oder } \quad x_n = x_1 \cdot q^n$$
wobei \(q\) konstant, also sich mit dem \(n\) nicht verändert. Beide Ausdrücke sind äquivalent. Dies ist z.B. bei b) und c) der Fall. Und ebenso bei d), da hier
$$\text{d) } x_n = 3 \cdot 0,3^{n-1} = 3 \cdot 0,3^n \cdot 0,3 ^{-1} = (3 \cdot 0,3 ^{-1} ) \cdot 0,3^n = 10 \cdot 0,3^n$$
Du kannst das prüfen, indem Du zwei Folgeglieder \(x_n\) und \(x_{n+1}\) teilst. Das Ergebnis muss konstant sein. Bei
$$\text{d) } \frac{x_{n+1}}{x_n} = \frac{3 \cdot 0,3^{n}}{3 \cdot 0,3^{n-1}} = 0,3 = \text{konstant}$$ ist dies erfüllt. Bei
$$\text{j) } \frac{x_{n+1}}{x_n} = \frac{\left( 1 + \frac{1}{n+1}\right)^{n+1}}{\left( 1 + \frac{1}{n}\right)^{n}} = f(n) \ne \text{konstant} $$
$$\text{k) } \frac{x_{n+1}}{x_n} = \frac{\frac{\sqrt{n+1}}{n+2}}{\frac{\sqrt{n}}{n+1}} = \frac{(n+1) \sqrt{n+1}}{(n+2)\sqrt{n}}= f(n) \ne \text{konstant}$$ dagegen nicht.
Gruß Werner
