Vektoren zu einer Basis des Vektorraumes ergänzen

Question

Ich habe hier die Aufgabe, die Vektoren a1=(1 -2 0 1) und a2=(1 0 3 -1) zu einer Basis des Vektorraumes R^4 zu ergänzen. Soweit ich weiß, muss erst mal die Anzahl der Vektoren mit der Basis übereinstimmen, also brauche ich hier zwei weitere Vektoren. Die Frage ist jetzt allerdings, wie ich diese beiden Vektoren ermittle. Muss letztendlich bei der Addition aller Vektoren 0 oder 1 rauskommen?

:)

Answer 1

Hallo

 du musst irgendwie 2 weiter  linear unabhängige Vektoren finden, z.b einen der senkrecht zu a₁ steht und einen weiteren. evt auch senkrecht zu a_2, dann prüfen ob sie linear unabh, sind. Man kann auch immer mal 2 der Standardbasisvektoren versuchen

Gruß lul

Comments

Aber wie finde ich die senkrechten Vektoren raus? Im Internet sind hierfür nur blöde Beispiele zu finden, da dort die Vektoren nur 3-dimensional sind. Für einen 3D-Vektor habe ich zwar eine gute Möglichkeit gefunden (neuen Vektor bilden, in diesen eine 0 in die Mitte schreiben und die anderen beiden Zahlen vertauschen), diese lässt sich allerdings schlecht auf meine Vektoren übertragen.

Grüße

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Hallo

aenkrecht zu (1 -2 0 1) ist zB (-1,0,0,1) oder (1,1,0,1)  oder (1,1,1,1)

 nun darf nur r*a1+t*a2 den vektor nicht ergeben.

senkrecht zu  (1 0 3 -1) ist (1,0,0,1) oder (1,1,1,4) und viele andere. eigentlich ist das leicht zu sehen. es muss ja nur die summe der Komponentenprodukte 0 sein.

Gruß lul

Answer 2

  Deine beiden Vektoren a1;2 mögen die Ebene =: E  aufspannen; in der Tat stehen sie ja schon senkrecht aufeinander.  Also suchen wir die Ebene F := (E)T  ( " T "  wie  " transversal "  oder senkrecht )  aller Vektoren, die senkrecht auf E stehen:

     a1=(1 -2 0 1)        (  1a  )

     a2=(1 0 3 -1)         (  1b  )

    Mein LGS lautet also

     x  -  2  y              +  w  =  0        (  2a  )

     x             +  3  z  -  w  =  0         (  2b  )

     Von Vorn herein haben wir eine gewisse Zweideutigkeit; wir erwarten ja zwei Basisvektoren.  Versuchen wir dochmal den Ansatz w = 0,  ob das schon  Eindeutigkeit erzwingt.  Offenbar ja.

       x  =  2  y  =  -  3  z          (  3a  )

    Basisvektoren sollten  ===>  primitiv notiert werden;  in ( 3a )  ist  6  das kgv  von  2 und  3:

       a3  =  (  6  |  3  |  -  2  |  0  )         (  3b  )

    Auf die Frage nach einer Basis gubt es zwar nie eine eindeutige Antwort, aber ich peile doch eine möglichst unkomplizierte Lösung an. Wenn es uns gelingt, in F einen Vektor mit x = 0 zu finden, dann ist dieser tot sicher linear unabhängig von a3  .  x  =  0  setzen in  (  2ab  )

     w  =  2  y  =  3  z       (  4a  )

     a4  =  (  0  |  3  |  2  |  6  )       (  4b  )