Ableitung der Umkehrfunktion von 1/cosh(x) bestimmen

Question

Könnt ihr mir hier bitte eine Lösung geben?

Wie immer danke im Voraus.

Answer 1

Eine Umkehrfunktion kann man so bestimmen: 1/(cosh(x))=2/(e^x+e^-x). setze jetzt ex=z und 1/(cosh(x))=y. Es entsteht:

y=2z/(z²+1). Aufgelöst nach z ist das z=(1±√1-y²)/y. Resubstitution führt zu x=ln[(1±√1-y2)/y]. Wir wählen nur den positiven Ast. Vertauschenvon x und y führt zu f^-1(x)=y=ln[(1±√1-x²)/x].

Jetzt Ableiten nach der Kettenregel ergibt (f^-1)'= - 1/(x√(1-x²)).