Question

Gegeben ist der Graph der Funktion f mit f(x)=1/2x^2 und für jedes r E R eine Gerade gr mit gr(x)= 2x+r

a) Bestimmen Sie die Gleichung der Geraden gr, die mit dem Graphgn von f genau einen gemeinsamen Punkt P0 hat. Berechnen Sie die Koordinaten von P0.

b) Zeigen Sie, dass die in a) bestimmte Gerade gr eine Tangente an den Graphen von f ist.

Answer 1

Hi,

Bestimme die Ableitung von f(x) = 1/2*x^2

f'(x) = x

Finde nun heraus, an welcher Stelle die Steigung m = 2 ist, denn das ist die Steigung der Geraden g.

f'(x) = x = 2

An der Stelle x = 2 haben wir die Steigung m = 2. Wenn wir also P_(0) bestimmen wollen, dann ist das P_(0)(2|f(2)) = P_(0)(2|2).

Damit können wir nun r bestimmen:

g_(r)(2) = 2*2 + r = 2

r = -2

--> g(x) = 2x-2 mit P_(0)(2|2)

Nochmals anderweitig zeigen, dass das wirklich eine Tangente ist:

f(x) = g(x)

1/2*x^2 = 2x-2  |*2

x^2 = 4x - 4     |-4x+4

x^2-4x+4 = 0   |binomisiche Formel

(x-2)^2 = 0

x_(1,2) = 0

Wir haben also einen doppelte "Schnitt"stelle an P, was einem Berührpunkt entspricht und damit ist g eine Tangente.

~plot~ 1/2*x^2; 2x-2; [[-3|3|-1|4]] ~plot~

Grüße