Für jedes t∈R t ∈ R ist eine Funktion ft f t gegeben durch ft(x)=(t−x)ex f t ( x ) = ( t − x ) e x Ihr Graph sei Kt

Question

Aufgabe:

Für jedes \( t \in R \) ist eine Funktion \( f_{t} \) gegeben durch \( f_{t}(x)=(t-x) e^{x} \) Ihr Graph sei \( K_{t} \)
b) Untersuche \( K_{t} \) auf Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen, Hoch - Tief - und Wendepunkte sowie auf Asymptoten. Zeichne \( K_{1} \) (Graph für \( t=1 \) ) im Bereich \( -3 \leq x \leq 2 \) und \( K_{2} \) (Graph für \( t=2 \) )im Bereich \( -3 \leq x \leq 2,5 \) in dasselbe Koordinatensystem ein (Längeneinheit \( 1 \mathrm{cm} \) ).
d) Die Kurven \( K_{1} \) und \( K_{2}, \) die Gerade \( x=1 \) und die Gerade \( x=z \) mit \( z<1 \) begrenzen eine Fläche mit dem Inhalt \( A(z) . \) Berechne \( A(z) . \)
e) Die Gerade \( x=u \) mit \( u<0 \) schneidet \( K_{1} \) in Qund \( K_{2} \) in P. Für welchen Wert von \( u \) hat das Dreieck OPQ extremalen Inhalt? (O ist der Ursprung.) Gib diesen
extremalen Inhalt an. Um welche Art von Extremum handelt es sich hierbei?
g) Vom Punkt \( T(5 \mid 0) \) aus sollen Tangenten an \( K_{1} \) gelegt werden. Berechne die \( x \) - Werte der Berührpunkte. Nun sollen von \( T(5 \mid 0) \) aus für beliebiges \( t \) mit \( t \neq 5 \) Tangenten an \( K_{t} \) gelegt werden.Für welchen wert von t gibt es genau eine solche Tangente?

Problem/Ansatz:

Bitte kann mir jemand helfen die Aufgabe zu lösen bzw. mir die Rechenwege erklären wie man auf diese Lösungen kommt.

ich habe leider keine ähnlichen Beispiele hierz gefunden.

Ich entschuldige mich im Voraus, dass ich keinen Ansatz für diese Aufgabe habe.

Answer 1

d) Das sieht so aus:

~plot~ (1-x)*e^x;(2-x)*e^x ~plot~

Für z<1 ist die Fläche dazwischen gegeben durch

$$A(z)=\int_{z}^{1} ((2-x)*e^x - (1-x)*e^x )dx=\int_{z}^{1} e^x dx=[e^x]_z^1=e-e^z$$

e) P(u;(1-u)e^u)  Q(u;(2-u)e^u) . Das Dreieck hat eine Seite PQ und die

zugehörige Höhe ist |u| = -u, weil u negativ ist.

|PQ|= (2-u)*e^u - (1-u)*e^u=e^u.

Also A(u)= -u*e^u mit A ' (u) = (-u-1)*e^u .

Also A ' (u) = 0 nur für u=-1 und

A ' ' (-1) = -1/e < 0 . Also ist das Extremum ein Max.

und es ist A_max = A(-1) = 1/e

g) Wenn u der x-Wert des Berührpunktes der Tangente ist,

gilt:     Steigung des Graphen bei u = Steigung der Tangente

Mit dem Steigungsdreieck von u bis 5 ist das (beachte: m ist negativ)

f ' (u) =  f(u) / (u-5)

-u*e^u = (1-u)*e^u / (u-5)   [e^u ist nicht 0, also dividieren]

<=> -u^2 + 5u = 1-u

<=> u = 3 ±2√2

Für beliebiges t ergibt sich: ( u≠5) !

( -u+t-1)*e^u = (t-u)*e^u / (u-5)

<=> ( -u+t-1)= (t-u)/ (u-5)

<=> ( -u+t-1)*(u-5)= t-u

Die quadratische Gleichung hat die Diskriminante t^2 - 14t + 45.

Die ist 0 für t=5 oder t=9.

Da t ≠ 5 gesagt ist, bleibt der Fall t=9 als einzige Möglichkeit,