Für jedes t ≠ 0 ist eine Funktion ft(x)= x/2t-2/t+2/x. Ihr Graph sei Kt...

Question

Für jedes t(nicht gleich)0 ist eine Funktion ft(x)= x/2t-2/t+2/x. Ihr Graph sei Kt. Untersuchen Sie "experimentell" und rechnerisch, für welche Werte von t der Graph Kt einen Tiefpunkt besitzt. Gibt es einen Graphen, dessen Tiefpunkt auf der x-Achse liegt ?

Answer 1

Für Tiefpunkte benötigst du die erste Ableitung um die x-Stellen zu ermitteln, und die zweite um zu bestimmen, ob es sich um einen Hoch- oder Tiefpunkt handelt.

f_t(x)= x/2t-2/t+2/x

f'_t(x)= 1/2t-2/x^2

f''_t(x)= 4/x^3

Bedingung für Hoch- oder Tiefpunkt

f'_t(x)=0

0=1/2t-2/x^2

x₁=2*√t ; x₂=-2*√t

Danach schauen ob sich um einen Hoch- oder Tiefpunkt handelt:

f''_t(2*√t)=1/(2*t^{3/2})

f''_t(-2*√t)=-1/(2*t^{3/2})

Jetzt muss man eine Fallunterscheidung für t durchführen, also was wenn man für t

irgendeine Zahl einsetzt, jetzt ist ja klar, das man für t nicht null einsetzen darf, da man ansonsten durch Null teilen würde, was ja nicht definiert bzw. erlaubt ist. Daher kommt auch die Bedingung vom Anfang t≠0