Lineare Ausgleichsprobleme

Question

Ich frage mich wie folgende Aufgabe zu lösen ist :

Aufgabe:

Ein von Ihnen durch geführtes Experiment hat folgende Messergebnisse ergeben:

xj	1	16	20	38	46
yj	0	1	6	6	8

Geben Sie hierzu die im Sinne der linearen Ausgleichsrechnung am besten passende Funktionen nach folgenden Modellgleichungen an. Beachten Sie, dass die Variablen hier etwas anderes als in der Vorlesung benannt wurde.

a) y= f(a_0;x)             = a0                       horizontale Ausgleichsgerade

b) y= f(b₀;b₁;x)        = b₁*x+b₀                 Ausgleichsgerade

c) y= f(c₀;c₁;c₂;x)    = c₂*x²+c₁*x+c₀     Ausgleichsparabel

_{Geben Sie zu jedem Modell den Wert der Zielfunktion S an, der zu Ihren Daten gehört. Fertigen Sie eine gemeinsame Skizze mit den gegeben Messwerten und den von Ihnen erhaltenen Funktion an. Verwenden Sie für jedes Modell eine andere Farbe.}

_{Hiiiiiiiiilfe wir haben das Thema nie behandelt und müssen so eine ähnliche Aufgaben abgeben.}

Comments

Falls ihr nie eine Ausgleichsgerade oder Ausgleichs-
parabel im Unterricht behandelt habt kann die Lösung
dieser Aufgabe auch nicht von euch gefordert werden.
So trivial ist das nämlich nicht.

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Es ist aber nun mal so

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Mathematisch nicht genau könnte man
vorgehen.
Die Punkte in ein Koordinatensystem
eintragen.
Dann PI mal Daumen
- ein horizontale Gerade ( parallel
zur x-Achse ) ausgleichend einzeichnen
- ein Gerade ausgleichend einzeichnen
- eine Funktion 2.Grades ( Parabel )
ausgleichend einzeichnen.

Die Funktionen lassen sich ermitteln
durch
- Abstand zur x-Achse bestimmen
f ( x ) = Abstand
- 2 Punkte der Geraden ablesen und
die Funktion
f ( x ) = m * x + b ausrechnen
- 3 Punkte auf der Parabel ablesen
und die Parabelfunktion berechnen
f ( x ) = a * x^2 + b * x + c

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Wir können die Aufgabe durchgehen bis
dir die Lösungen verständlich sind.

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ich  was nicht was ich mit den 3 Gleichungen soll ich muss ja nur diejenige verwenden die am besten passt oder?

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Hallo

das sieht nach Praktikum aus?, Dazu gibt es üblicherweise entweder Handreichungen, oder passende Literatur, die angegeben wird, oder einen Tutor oder dergl. den man nach Literatur fragt.

 ausserdem Anleitungen zu Exel, das das kann.

Gruß lul

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Ja ist ein Praktikum aber es gab weder Handreichung noch gibt es ein Tutorium . Es gibt 3 Seiten im Skript aber die bringen mir herzlich wenig

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Anbei die Skizze
Eingezeichnet sind die Meßwerte
und
rot die Ausgleichsgrade mit den
Punkten
(1 | 0 )
( 46 | 8 )
- grün eine gekrümmte Funktion
( Parabel ) mit den Punkten
( 1 | 0 )
( 27 | 4.3 )
( 45 | 8.4 )

Eine horizontale Ausgleichsgerade hätte die
Funktion
0 + 1 + 6 +6 + 8 = 21 : 5
f ( x ) = 4.2

Answer 1

Du kannst aber auch nach "Rezept" (z.B. aus Wikipedia) vorgehen:

https://de.wikipedia.org/wiki/Ausgleichungsrechnung#Lineare_Ausgleichsrechnung

über die sog. Normalengleichung.

Das gibt bei dir die Matrix A =

1      1       1
1     16      256
1     20      324
1     38     1444
1     46      2116

und die rechte Seite  b =

0
1
6
6
8

mit A^T * A =

5            121              4141
121       4217           162785
4141     162785     6733105

bekommst du für die gesuchte Ausgleichsparabel ca.

y = -0,002x^2  +0.258845x  - 0.611

sieht dann so aus:

~plot~ {1|0};{16|1};{20|6};{38|6};{46|8};[[0|50|0|10]];-0.002*x^2+0.260*x-0.611 ~plot~

Comments

Wie kommst du auf diese Gleichung y = -0,002x2  +0.258845x  - 0.611?

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Die Koeffizienten sind die Lösungen von

A^T * A * x = A^T * b

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Hallo lilalu,

Wie kommst du auf diese Gleichung y = -0,002x2  +0.258845x  - 0.611?

Die drei Koeffizienten dieser Gleichung ist der Lösungsvektor \(\alpha\) dieses linearen Gleichungssystems:

$$A^T \cdot A \cdot \alpha = A^T \cdot b$$

Hier ist das besser erklärt.

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OK aber jetzt angenommen ich habe andere Wertepaar ,

z.B.

xj	6	16	26	38	41
yj	1	3	6	6	8

bei diesen werten kann ich ja eine Ausgleichsgerade ausgehend vom Ursprung durch legen und keine Parabel ?!? D.h. meine errechneten Werte aus der Matrize werden dann in der Aufgabenstellung vorgegebene Gleichung b) y= f(b0;b1;x) = b1*x+b0              Ausgleichsgerade eingesetzt?

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Hi Werner-Salomon,

du hast mir diesen Link: https://de.wikipedia.org/wiki/Methode_der_kleinsten_Quadrate zur Erklärung empfohlen. Wenn ich so vorgehe wie im Beispiel des Links, dann brauche ich ja diese Matrizen nicht oder? Also vorausgesetzt es handelt sich um eine Ausgleichs gerade und nicht um eine Ausgleichsparabel ?

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Hallo lilalu,

Für den Spezialfall einer linearen Asugleichsgerade gibt es eine geschlossene Lösung, die aber auch nichts anderes ist, als die Lösung des bereits genannten LGS (s.o.). So gesehen brauchst Du die Matrizengleichungen nicht mehr, da sie damit bereits gelöst sind,

Da in Deiner Aufgabe nach den drei Funktionen (Konstante, Lineare Funktion und Parabel) gefragt ist, würde Ich Dir aber trotzdem die allgemeine Lösung empfehlen, da sie für alle drei Funktionen im  gleichem Maße gilt. Nur die Größe von \(A\) ändert sich jedesmal.

Gruß Werner