Gesucht ist eine untere \(3\times3\)-Dreiecksmatrix \(L=(l_{ij})\) mit positiven Diagonalelementen, so dass gilt$$A=L\cdot L^\top=\begin{pmatrix}l_{11}&0&0\\l_{21}&l_{22}&0\\l_{31}&l_{32}&l_{33}\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}l_{11}&l_{21}&l_{31}\\0&l_{22}&l_{32}\\0&0&l_{33}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}25&35&0\\35&74&-5\\0&-5&10\end{pmatrix}.$$Ausmultiplizieren liefert zeilenweise$$\quad(1)\quad l_{11}^2=25\Rightarrow l_{11}=5\\\quad(2)\quad l_{21}\cdot l_{11}=35\Rightarrow l_{21}=7\\\quad\phantom{(2)}\quad l_{21}^2+l_{22}^2=74\Rightarrow l_{22}=5\\\quad(3)\quad l_{31}\cdot l_{11}=0\Rightarrow l_{31}=0\\\quad\phantom{(3)}\quad l_{31}\cdot l_{21}+l_{32}\cdot l_{22}=-5\Rightarrow l_{32}=-1\\\quad\phantom{(3)}\quad l_{31}^2+l_{32}^2+l_{33}^2=10\Rightarrow l_{33}=3.$$Es ist also \(L=\begin{pmatrix}5&0&0\\7&5&0\\0&-1&3\end{pmatrix}\).
Bezeichne den Ergebnisvektor mit \(b\). Löse nun zunächst das LGS \(Ly=b\) durch Vorwärtseinsetzen und anschließend das LGS \(L^\top x=y\) durch Rückwärtseinsetzen. Dann gilt wie gewünscht \(Ax=L\cdot L^\top x=Ly=b\).
\(\color{#ccc}{\text{Bemerkung: Als Ergebnisse habe ich }y=\begin{pmatrix}17\\27\\9\end{pmatrix}\text{ und }x=\begin{pmatrix}-5\\6\\3\end{pmatrix}\text{ berechnet}.}\)
