Warum ist R kein Vektorraum?

Question

Meine Frage wäre, warum R kein Vektorraum ist.

Für einen Vektorraum sollten meines Wissens nach erfüllt sein, dass 2 Elemente des zugrundliegenden Körpers mit der Addition ein Ergebnis bilden, dass wieder in dem Körper ist und Mit der Multiplikation mit einem Skalar genauso.

Meistens werden Beispiele wie der R^2 oder R^3 gegeben, aber diese beiden Eigenschaften scheinen bei mir auch für R zuzutreffen.

Kann es sein das ich eine Eigenschaft für den Vektorraum übersehen habe?

Answer 1

warum R kein Vektorraum ist.

Was meinst du mit R? Die reellen Zahlen? Dann ist R ein R-Vektorraum. Jeder Körper K ist ein eindimensionaler K-Vektorraum.

dass 2 Elemente des zugrundliegenden Körpers mit der Addition ein Ergebnis bilden, dass wieder in dem Körper

Vektorräume stellen keine besonderen Anforderungen an den zugrundeliegenden Körper. Jeder Körper kann als Grundkörper für einen Vektrraum genommen werden.

Die Eigenschaft, die du genannt hast, gilt in allen Körpern.

Meistens werden Beispiele wie der R² oder R³ gegeben

Weil erst dort Unterschiede zum Körper auftreten.

Comments

Ja, ich meinte die Reellen Zahlen.

Danke für deine Antwort :)

Das mit dem eindimenionalen K-Vektorraum lese ich gerade zum ersten mal (oder ich hatte es vergessen)

Ich weiß, dass die Eigenschaft laut Definition für alle Körper gelten muss, aber in der Definition des Vektorraumes wird es nocheinmal erwähnt. Ich glaube, da der Skalar aus allen möglichen Körpern kommen kann.

( R , ⊕ , ⊙ ) ist also ein eindimensionaler R-Vektorraum

Darf ich fragen, welchen Unterschied mehrdimensionale Vektorräume im Vergleich zu eindimensionalen haben?

---

Das mit dem eindimenionalen K-Vektorraum lese ich gerade zum ersten mal

Wahrscheinlich weil es so tivial ist, dass sich keiner die Mühe macht, es zu erwähnen.

Ist K ein Körper, dann

• ist K eine komutative Gruppe bezüglich der Addition,
• es gelten die Distributivgesetze,
• es gilt das Assoziativgesetz bezüglich der Multiplikation und
• die Multiplikation mit 1 ist neutral.

Genau das verlangt man von einem Vektorraum.

aber in der Definition des Vektorraumes wird es nocheinmal erwähnt

Das ist ungewöhnlich. Bist du dir da sicher? Wie sieht deine Definition aus?

Darf ich fragen, welchen Unterschied mehrdimensionale Vektorräume im Vergleich zu eindimensionalen haben?

Das sie mehrdimensional sind. Mir ging es aber nicht um Mehrdimensionalität oder Eindimensionalität, sondern darum, einen Köper als einen Vektorraum über sich selbst aufzufassen. Dann gelten natürlich zusätzlich zu den Vektorraumeigenschaften auch die Köpereigenschaften, zum Beispiel dass man die Elemente kommutativ miteinander multiplizieren kann, was in mehrdimensionalen Vektorräumen im Allgemeinen nicht gilt.

Der Vektorraum ist dann automatisch eindimensional, weil jedes Vektorraumelement v geschrieben werden kann als v·1.

---

Das ist "meine" Definition von einem Vektorraum, bzw. die, von meinem Professor:

Es verwirrt mich irgendwie, dass man aus dem Namen "K-Vektorraum" eigentlich nur rauslesen kann, dass der Skalar für die Multiplikation aus K kommt und sonst nichts. Hat das zufällig eine tiefere Bedeutung, dass das wichtiger ist als, z.B. die kommutative Gruppe (V,+), die eigentlich genauso wichtig ist? Allerdings habe ich auch noch das hier gefunden: (und habe es wohl einfach überlesen beim durchlesen...)

R ist also ein Vektorraum, der aus der kommutativen Gruppen (R,+) und der skalaren Multiplikation mit R (R-Vektorraum).

---

dass das wichtiger ist als, z.B. die kommutative Gruppe (V,+)

Jeder endlichdimensionale K-Vektorraum ist isomoph zu Kⁿ für ein n∈ℕ. Hat man also ein Problem im Kⁿ gelöst, dann hat man es dadurch in allen K-Vektorräumen der Dimension n gelöst.

Wie du vielleicht aber nun auch siehst, steht in Definition 5.1.1 eben nicht, "dass 2 Elemente des zugrundliegenden Körpers mit der Addition ein Ergebnis bilden, dass wieder in dem Körper ist".