Aufgabe:
Text erkannt:
Sei \( X \subset \mathbb{R} \). Auf der Menge \( \operatorname{Abb}(X) \) der Funktionen von \( X \) nach \( \mathbb{R} \), d.h.
\( \operatorname{Abb}(X)=\{f \quad f: X \longrightarrow \mathbb{R}\} . \)
seien die Addition "+" und die Skalarenmultiplikation " \( m " \) jeweils komponentenweise definiert:
\( (f+g)(x):=f(x)+g(x) \) und \( (\alpha f)(x):=\alpha \cdot f(x) \), für \( x \in X \) und \( \alpha \in \mathbb{R} . \)
Damit ist \( (\operatorname{Abb}(X),+, m) \) ein Vektorraum über \( \mathbb{R} \). Verifizieren Sie, dass dann insbesondere \( (\operatorname{Abb}(X),+) \) eine kommutative Gruppe darstellt.
Sei
\( \operatorname{Abb}_{[0,2]}:=\{f \mid f:[a, b] \longrightarrow \mathbb{R}, 0 \leq a<1<b \leq 2\} . \)
eine Teilmenge reeller Funktionen. Auf \( \mathrm{Abb}_{[0,2]} \) sei die Addition “+" wie folgt definiert:
\( f+g: X_{f} \cap X_{g} \longrightarrow \mathbb{R}, \quad x \mapsto(f+g)(x):=f(x)+g(x) \)
wobei \( X_{f} \) den Definitionsbereich von \( f \in \mathrm{Abb}_{[0,2]} \) bezeichnet. Die Abbildung \( m: \mathbb{R} \times \mathrm{Abb}_{[0,2]} \longrightarrow \mathrm{Abb}_{[0,2]} \) sei durch
\( (\alpha, f) \mapsto(\alpha f)(x):=\alpha \cdot f(x), \quad x \in X_{f} \)
gegeben. Begründen Sie, warum \( \left(\operatorname{Abb}_{[0,2]},+, m\right) \) kein Vektorraum über \( \mathbb{R} \) ist.
Problem/Ansatz:
Ich habe bereits in der oberen Aufgabe die Gruppenaxiomen nachgeweisen und gezeigt, dass (Abb(X),+) eine kommutative Gruppe ist. Laut Aufgabe ist auch (Abb(X),+,m) ein Vektorraum.
Allerdings fällt mir nach ewigen rumprobieren und überprüfen der Vektorraumaxiome nichts ein, warum der Körper (Abb[0,2],+,m) kein Vektorraum sein sollte.
Ich gehe stark davon aus, dass es mit dem Intervall zu tun hat. Wenn dies der Fall ist, warum?
