Bestimmen der Gleichung der Tangente an den Graphen von f im Punkt P.

Question

unzwar komme ich mit folgender Aufgabe nicht zurecht:

Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente an den Graphen von f im Punkt P

a) f(x) = e^-x ; P(0|f(0))

b) f(x) = 1/2e^-2x; P(1 f(1)

c) f(x) = -2x* e^-x ; P(-1| f(-1)

LG

Comments

Es muss "Tangente" heißen!

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Ich habe das korrigiert.

Answer 1

Die Tangente ist eine lineare Funktion, also

(1)        t(x) = mx + b.

Du musst m und b bestimmen.

Die Tangente hat an der angegebenen Stelle die gleiche Steigung wie die Funktion. Die Steigung der Tangente ist m. Die Steigung der Funktion kannst du mittels der Ableitung errechnen. In a) muss also

        m = f'(0) = -1

sein. In (1) einsetzen liefert

(2)        t(x) = -1x + b.

Die Tangente hat an der angegebenen Stelle den gleichen Funktionswert wie die Funktion. In a) muss also

        t(0) = f(0)

und somit

        -1·0 + b = e^-0

sein. Löse nach b auf und setze in (2) ein.

Answer 2

Ist die Funktion \(f\) an der Stelle \(x_1\) differenzierbar, dann ist die Gleichung

$$ y=f'\left(x_1\right) \cdot \left(x-x_1\right) + f\left(x_1\right) $$eine Gleichung der Tangente an \(f\) im Punkt \(\left(x_1\mid f\left(x_1\right)\right)\).

Verwende das und du bekommst mit wenig Aufwand auf einem mathematisch angemessenen Weg das gewünschte Ergebnis.

Comments

$$b) \quad f(x) = \dfrac 12\cdot e^{-2x};\quad P(1 \mid f(1)) $$Mit dem oben angeführten Ansatz ergibt sich

$$y=f'\left(1\right) \cdot \left(x-1\right) + f\left(1\right) \\\phantom{y}=-e^{-2} \cdot \left(x-1\right) + \dfrac 12\cdot e^{-2} \\ \phantom{y}=-e^{-2} \cdot x + \dfrac 32\cdot e^{-2}$$und das ist dann auch der Rechenweg, der im Abitur erwartet wird.

Answer 3

b) f(x) = 1/2e^-2x; P(1 f(1)

Die Tangente ist eine Gerade am Berührpunkt
t ( x ) = m * x + b
x = 1

Für einen Berührpunkt gilt
f ( x ) = t ( x ) | Koordinaten gleich
f ´ ( x ) = t ´( x ) | Steigung gleich

f ( 1 ) = 1/2 * e^{-2*1} = 0.0677
( 1 | 0.0677 )
1.Ableitung / Steigung
f ´( x ) = 1/2 * e^{-2x} * -2
f ´( 1 ) = 1/2 * e^{-2*1} * -2  = -0.1354

t ( x ) = m * x + b
t ( 1 ) = -0.1354 * 1 + b  = 0.0677
b = 0.2031

t ( x ) = -0.1354 * x + 0.2031