Warum konvergieren bzw. divergieren folgende Reihen?

Question

In meinem Skript von Höherer Mathematik bin ich auf zwei Reihen gestoßen, ich verstehe allerdings nicht weshalb diese konvergieren bzw. divergieren; beide gehen sie ja gegen 1:

a) \( a_n=\frac{1}{n}(n\in\mathbb{N}), |\frac{a_{n+1}}{a_n}|=\frac{n}{n+1}\to1,\sum_{n=1}^{\infty}{a_n}\) divergiert.

b) \( a_n=\frac{1}{n^2}(n\in\mathbb{N}), |\frac{a_{n+1}}{a_n}|=\frac{n^2}{(n+1)^2}\to1,\sum_{n=1}^{\infty}{a_n}\) konvergiert.

Answer 1

das Quotientenkriterium ist hier nutzlos, da "1" keine Aussage ermöglicht.

Das erste ist die harmonische Reihe, die divergiert.

Die zweite Reihe konvergiert gemäß dem Integralkriterium.

Comments

Genau, die zweite Reihe kann man auch als "allgemeine harmonische Reihe" beobachten.

\( \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{\alpha}} \operatorname{mit} \alpha \in \mathbb{R} \)

Die Konvergenz der Reihe ist wie folgt:

* für α≤1, also α∈(-∞;1] ist die Reihe divergent

* für α>1, also α∈(1; +∞) ist sie konvergent.

Answer 2

Beide Reihen divergieren. Unendlich viele, sich 1 nähernde Summanden haben eine unendliche Summe.

Comments

Beide Reihen divergieren

Darauf kommt man nur, wenn man die Aufgabe nicht richtig liest.

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Jetzt sehe ich es auch. Ich habe die Aufgabe latsächlich nicht richtig gelesen. Die zweite konvergiert gegen π²/6.

Answer 3

die Konvergenz bzw. Divergenz der Reihen wird vorausgesetzt.

Das Ganze ist wohl nur ein Beispiel dafür, dass beim Quotientenkriterium die Konvergenz von | a_n+1 / a_n |  → 1 über die Konvergenz der Reihe nichts aussagt.

Für die Konvergenz genügt die Existenz einer festen Zahl q mit

| a_n+1 / a_n | ≤ q < 1 

https://de.wikipedia.org/wiki/Quotientenkriterium

Gruß Wolfgang