7 teilt 333^444 + 444^333

Question

wie zeige ich das 333⁴⁴⁴ + 444³³³ durch 7 teilbar ist?

Meine Idee waren Restklassen aber bin da nicht wirklich zum Ziel gekommen..

Schonmal Danke für die Hilfe :)

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333^{444} + 444^{333 }   =   ( (47·7 + 4)^3 )^{148}  +  ( (63·7 + 3)^3 )^{111}

Answer 1

Hallo

 333=5mod7  5⁴⁴⁴=(5⁶)⁷⁴=1⁷⁴=1 mod 7

444=3 mod 7 3^333=(3³)¹¹¹=(-1)¹¹¹=-1 mod7

damit hast du es.

also war Restklassen die richtige Idee nur muss man halt 2 Reste mit entgegengesetztem Vorzeichen finden

Gruß ledum

Comments

  Deine zweite Zeile  ( auch du verzichtest großzügig auf Gleichungsnummern mit dem Minus Eins Hoch 111 ist echt clever.

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Danke.. die positive 1 hatte ich bei einer Rechnung auch.. aber ich bin irgendwie nicht auf die Negative Zahl gekommen.

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Wenn man Modulo 7 hat und 7 eine Primzahl ist lässt sich ja auch der kleiner Fermat nutzen

333^444 + 444^333 mod 7
= (333 mod 7)^444 + (444 mod 7)^333 mod 7
= 4^444 + 3^333 mod 7
= (4^74)^6 + 3^3·3^330 mod 7
= (4^74)^6 + (27 mod 7)·(3^55)^6 mod 7
= 1 + 6·1 mod 7
= 7 mod 7
= 0

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$$333 \equiv \colorbox{#ffff00}4 \mod 7$$.. spielt aber für das Ergebnis keine Rolle

Answer 2

  333  =  (  -  3  )  mod  7      (  1  )

   Die G7, die multiplikative Gruppe des Restklassenkörpers  F7, hat Ordnung  °G  =  6  .  Daher gilt für alle ihre Faktoren

        x  ^  6  =  1          (  2  )

    Jetzt geht aber 444 auf;  444  =  6  *  74

    (  -  3  )  ^  444  =  3  ^ 444  =  (  3  ^  6  )   ^ 74  =  1  ^  74  =  1     (  3  )

    444  =  3 mod  7     (  4  )

       Und jetzt hast du  333  =  6  *  55 + 3

       3  ^  333  =  (  3  ^ 6  )  ^  55  *  3  ³       (  5a  )

   Nebenrechnung  3  ³  =  27  =  (  -  1  )  mod  7    (  5b  )

    Fasse  (  3  )  und  (  5b  )  zusammen.