Question

Zeigen Sie, dass 3⁴⁴⁴ + 4³³³ durch 5 teilbar ist.Könnte mir jemand zeigen, wie ich das machen kann?Danke.

Answer 1

(3^444 + 4^333) mod 5 = ((3^4)^111 + (4^3)^111) mod 5 = (81^111 + 64^111) mod 5 = (1^111 + 4^111) mod 5 = (1^111 + (−1)^111) mod 5 = (1 − 1) mod 5 = 0 mod 5

Comments

(81¹¹¹ + 64¹¹¹) mod 5 = (1¹¹¹ + 4¹¹¹) mod 5

das sollte eventuell noch näher erläutert werden - ist nicht so offensichtlich für jedermann

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Ich war hier davon ausgegangen, dass bekannt ist das

(a * b) mod m = ((a mod m) * (b mod m)) mod m

und daher auch

a^b mod m = (a mod m)^b mod m

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(81¹¹¹ + 64¹¹¹) mod 5 = (1¹¹¹ + 4¹¹¹) mod 5

Offensichichtlich finde ich dieses:

(81¹¹¹ + 64¹¹¹) ≡ (1¹¹¹ + (-1)¹¹¹) mod 5

Das kann man meiner Meinung nach auch so schreiben.

Answer 2

die Lösung lässt sich nach eingehender Recherche  z.B hier finden:

https://www.fachschaft.informatik.tu-darmstadt.de/forum/viewtopic.php?t=20913

Answer 3

für alle Zahlen \(n \in \Bbb N\) gilt, dass die Einerstellen von \(n = n^1\) und \(n^5\) gleich sind.

Damit gilt für die Einerstellen:

$$ 3^{444}+4^{333} = 3^{111\cdot4+0}+4^{83\cdot4+1} = 3^{0}+4^{1} = 1+4 = 5 $$

Grüße,

M.B.

Comments

für alle Zahlen n∈N gilt, dass die Einerstellen von n=n1 und n5 gleich sind

Gibts dafür einen Beweis?

Als allgemein bekannt dürfte das nicht vorausgesetzt werden, oder?

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(1) rechne nach.

(2) Da dieser Sachverhalt bei Tausenden von Aufgaben über Teilbarkeit und (Summen von) Potenzen verwendet wird (werden kann), sollte man es wissen.

Grüße,

M.B.

Answer 4

3⁴Ξ1 mod5 (Kleiner Fermat)

(1) 3⁴⁴⁴Ξ1 mod5 (Folgerung daraus)

4²Ξ1 mod5 (leicht festzustellen)

4³³²Ξ1 mod5 (Folgerung daraus)

(2) 4³³³Ξ4 mod5 (Multiplikation mit 4)

(1)+(2) 3⁴⁴⁴+4³³³Ξ1+4 mod5

Rest ist klar.

Comments

Benutze das Äquivalenzteichen ≡ statt der griechischen Majuskel Ξ !

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≡ statt Ξ? Abgesehen von der Größe ist kein Unterschied erkennbar.

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Wie auffällig der Unterschied ist, hängt von der verwendeten Schriftart ab und die Wahl der Schriftart ist wiederum stark abhängig stark vom Anzeigesystem abhängig. Es ist also im allgemeinen sicher besser, gleich das richtige Zeichen zu verwenden und auf meinem Bildschirm sieht es auch besser aus.

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Ich werde dir den Gefallen tun und demnächst ≡ statt  Ξ schreiben, damit es auf deinem Bildschirm besser aussieht.