Umformung von Bruchtermen: (1 + 1/(n+1)) / (1 + 1/n) = ((n+2)·n) / (n+1)²

Question

In einem Beweis zur Monotonie einer Folge fand ich folgende Umformungen:

$$ \frac { 1+\frac { 1 }{ n+1 }  }{ 1+\frac { 1 }{ n }  } =\frac { (n+2)\cdot n }{ { (n+1) }^{ 2 } } $$

und

$$ \frac { 1 }{ 1+\frac { 1 }{ n+1 }  } =1-\frac { 1 }{ n+2 } $$

Ich würde gerne verstehen, wie diese zu Stande kommen.

Answer 1

\frac { 1 }{ 1+\frac { 1 }{ n+1 }  } =1-\frac { 1 }{ n+2 }

= 1/(1 + 1/(n+1))                 | gleichnamig machen

= 1/( (n+1)/(n+1) + 1/(n+1))    | Brüche addieren

= 1/(((n+1)+1)/(n+1))

= (1/1) / ((n+2)/(n+1))    | Mult. mit Kehrwert des Nenners

=  (1/1) * ((n+1)/(n+2))

= (n+1)/(n+2)

= ((n+2)-1)/(n+2)    | Bruchsubtraktion

= (n+2)/(n+2) - 1/(n+2)

= 1 - 1/(n+2)

So.

Und nun darfst du das Ganze noch mit schönen Bruchstrichen schreiben.

Answer 2

$$ \frac { 1+\frac { 1 }{ n+1 }  }{ 1+\frac { 1 }{ n }  } =\frac { (n+2)\cdot n }{ { (n+1) }^{ 2 } } $$ erweitere den linken Bruch mit \(n\) $$ \frac { n \left( 1+\frac { 1 }{ n+1 } \right) }{ n + 1  } =\frac { (n+2)\cdot n }{ { (n+1) }^{ 2 } } \quad \left| \div \frac{n}{n+1}\right.$$$$ 1+\frac { 1 }{ n+1 } =\frac { n+2 }{ n + 1 } $$ Jetzt auf beiden Seiten den Kehrwert $$ \frac{1}{1+\frac { 1 }{ n+1 }} =\frac { n+1 }{ n + 2 } = \frac{n + 2 - 1}{n+2} = 1 - \frac{1}{n+2}$$ 

Nachtrag: ... Ich glaub' ich habe die Frage jetzt verstanden ;-)

erweitere den ersten Ausdruck mit \(n(n+1)\)

$$ \frac { 1+\frac { 1 }{ n+1 }  }{ 1+\frac { 1 }{ n }  } = \frac { (n+1) \left( 1+\frac { 1 }{ n+1 } \right) n  }{ n \left(1+\frac { 1 }{ n }\right) (n+1)  } = \frac { (n+2)n  }{ (n+1)^2 } $$

und den zweiten Ausdruck mit \(n+1\)

$$\frac { 1 }{ 1+\frac { 1 }{ n+1 }  } = \frac { n+1 }{ n+1+1  }= \frac{n+2-1}{n+2}= 1-\frac { 1 }{ n+2 } $$

Comments

Nachtrag angefügt ....