Wahrscheinlichkeitsrechnung Urne Kugeln ohne zurücklegen

Question

Aus der Urne werden 2 kugeln ohne zurücklegen gezogen. Berechne sie Wahrscheinlichkeit das mindestens 1 Kugel schwarz ist.

6 Kugeln gibt es: 3 weiße 2 schwarze 1 rote

Ich hätte es so gerechnet:

2/6*1/5+ 2/6*3/5+2/6*1/5 =10/30=1/3 also 0,3•

Es sollte allerdings 3/5 also 0,6 richtig sein.

Was ist also falsch?

Answer 1

3 Weiße, 2 Schwarze und 1 rote Kugel. Es wird zweimal gezogen, ohne zurücklegen. Gib erst einmal die Ergebnismenge an, d.h. alle möglichen Ergebnisse aufzählen, die der Angabe entsprechen (mind. eine Schwarz)

Ω={(W,S),(S,W),(S,R),(R,S),(S,S)}

Nun schreibst du diese Wahrscheinlichkeiten der einzelen Ergebnisse auf und addierst sie:$$ P(E)=\frac{3}{6}\cdot \frac{2}{5}+\frac{2}{6}\cdot \frac{3}{5}+\frac{2}{6}\cdot \frac{1}{5}+\frac{1}{6}\cdot \frac{2}{5}+\frac{2}{6}\cdot \frac{1}{5}=\frac{3}{5}=0.6=60\%$$

Comments

Achso dann habe ich 2 Fälle vergessen. Dankeschön

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Hast du Kentnisse in der Kombinatorik? Weil ich finde die Kombinatorik oftmals schöner vom mathematischen Weg:$$ P(E)=\frac{n^k}{\left(\frac{n!}{k_{1}\cdot ... \cdot k_{s}}\right)} $$ Einsetzen:$$ P(E)=\frac{6^2}{\left(\frac{6!}{3!\cdot 2! \cdot 1!}\right)}=\frac{3}{5} $$ Das unten sind einfach alle Möglichkeiten, die Kugeln zu sortieren und das oben einfach unter den gegebenen Bedingungen.

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Kommt da nicht 36 durch 1 raus dann? Oder was bedeuten die Rufzeichen?

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Hallo mathehilfe99,

Die Kombinatorik ist auch gut, um deinen Fehler zu verhindern!

Du hast ja offensichtlich eine Option vergessen. Die Ausrufezeichen stehen für "Fakultät" - schwerer Begriff nichts dahinter:

6 Fakültät wäre z.B:

6!=6*5*4*3*2*1=720

Die Formel, die ich unter dem Bruchstrich (Zähler) anwende, ist die Formel für:

"Permutation, mit Wiederholung", da es Objekte gibt, von denen nicht alle unterscheidbar sind (2 schwarze Kugeln z.B):$$ \frac{n!}{k_{1}\cdot k_{2}\cdot ... \cdot k_{n} } $$ n steht hier für die Anzahl der Grundmenge (6 Kugeln=6) und k für die einzelen nicht unterscheidbaren Objekte (k1=2 Schwarze, k2=3 Weiße k3= 1 rote).$$ \frac{6!}{3!\cdot 2!\cdot 1! }=60 $$ Also gibt es 60 Möglichkeiten, die Kugeln überhaupt zu sortieren. Wenn du jetzt aber wissen willst wie viele Möglichkeiten unter der Bedingung das "Schwarz mind. 1. mal" existieren benutzt du folgende Formel:$$ n^k=6^2=36$$

Um die richtige Formel für jeden Sachverhalt zu finden, siehe:

https://www.mathelounge.de/532659/sitzplatze-studierende-wieviele-sitzplatzverteilungen

Das ist aber frewillig und dauert lange zu verstehen. Wenn du dich sicherer fühlst, ohne Kombinatorik und logisch denkst, tu das!

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Ah ok verstehe. Danke für den Tipp

Könntest du mir eventuell bei dieser Aufgabe weiterhelfen:

Brauche bitte eure Hilfe!

Elias spielt drei Tennispartien abwechseln gegen Vater und Mutter. Die Wahrscheinlichkeit, dass der Sohn
gegen den Vater gewinnt, ist 1/3, und die Wahrscheinlichkeit, dass er gegen  seine Mutter gewinnt 2/3.
Es wird vereinbart, dass der Sohn Sieger gegen die Eltern ist,
wenn er zwei Partien hintereinander gewinnt. Soll der Sohn zuerst gegen den Vater
oder zuerst gegen die Mutter spielen? Berechne für beide Möglichkeiten seine
Gewinnwahrscheinlichkeit.

Ich habe das so gemacht 1/3*1/2*1/3 wären 4/27

Und 2/3*1/3*2/3 5/27

Es sollte aber VMV 10/27 und MVM 8/27 richtig sein. 

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Naja, du musst halt beachten, dass er nur zwei mal gewinnen muss:

VMV Hier kann er ja das erste mal gegen seinen Vater verlieren gegen die Mutter gewinnen und am Ende nochmal gegen den Vater gewinnen o. Ä.

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Was ich etwas kritisch finde ist, das die Kombinatorik niemals lügt und:

(3 über 2)=3 Möglichkeiten

V= Vater und M=Mutter (Rot= Gewinn und Blau= Niederlage)

Ω={(V,M,V),(V,M,V),(V,M,V)}

Die Wahrscheinlichkeit für einen Gewinn vom Vater liegt bei (1/3) und bei der Mutter bei (2/3). Die Wahrscheinlichkeit einer Niederlage ist jedoch anders! Hier hat die Mutter (1/3) und der Vater (2/3).

P(E)=(1/3)*(1/3)*(1/3)+(2/3)*(2/3)*(1/3)+(1/3)*(2/3)*(2/3)=(1/3)

Das wäre für mich eine logische Denkweise

Answer 2

Mit Gegenereignis "keine ist schwarz":

1- 4/6*3/5 = 3/5 = 0,6