Bzw. ist es immer so, dass alle Eigenvektoren eine Basis zu dem dazugehörigen Vektorraum bilden oder gibt es Ausnahmen, wenn das nicht so ist.
Die Menge aller Eigenvektoren zu einem Eigenwert ist der sog. Eigenraum. Das ist immer ein Untervektorraum
des Raumes, auf dem die Abbildung definiert ist. Wie jeder Untervektorraum hat der natürlich auch eine
Basis. Die besteht mitunter nur aus einem Vektor.
Ich habe mir schon überlegt, dass es zu jedem Eigenwert mindesten einen Eigenvektor geben muss. Wenn man vom
R3 in den R3 abbildet und es nur einen eigenwert gibt, könnte es ja sein, dass es nur einen Eigenvektor im dazugehörigen Eigenraum gibt
kann nicht sein, denn wenn x ein Eigenvektor zum Eigenwert e ist, dann ist jedes Vielfache von x
auch einer. Und wenn eine Zahl ein Eigenwert ist, dann gibt es ja ein vom Nullvektor verschiedenes x, das ein
Eigenvektor ist.
und der spannt dann nicht den R3 auf, aber ich bin mir gerade nicht sicher. Das ist sogar häufig so, dass der Eigenraum
ein echter Teilraum von R3 ist.
Kann man vielleicht schreiben, dass die Eigenvektoren eine Basis von dem dazugehörigen Vektorraum bilden, wenn die dazugehörige Abbildungsmatrix diagonalisierbar ist? Dann wären glaube ich immer genug linear unabhängige Eigenvektoren vorhanden um eine Basis zu bilden.
So ähnlich: wenn die dazugehörige Abbildungsmatrix diagonalisierbar ist, dann gibt es eine Basis aus lauter Eigenvektoren.
