Wenn die Matrix reelle Eigenwerte hat, kann man dann sagen das das charakteristische Polynom in linearfaktoren zerfällt?

Question

Wenn eine Matrix nur komplexe eigenwerte hätte, hätte sie im reellen keine Eigenwerte und damit existiert auch kein cp

Wenn sie reelle Eigenwerte hat kann man ein charakteristisches Polynom aufstellen das nur aus linear Faktoren besteht.

Ich bin mir nicht sicher ob die Aussagen "Matrix hat reelle Eigenwerte => charakteristisches Polynom zerfällt in linearfaktoren" allgemein gilt oder es vielleicht ein Gegenbeispiel gibt in der ein Charakteristisches Polynom eine Mischung aus reellen und komplexen Eigenwerten hat?

Frage etwas anderes formuliert: "wenn gegeben ist, dass ein Eigenwert 0 existiert, kann man dann davon ausgehen das das charakteristische Polynom vollständig in linearfaktoren zerfällt ? Falls ja, mit welcher Begründung und falls nein: habt ihr vielleicht ein Gegenbeispiel?

Answer 1

Hallo

 jedes Polynom das mit 1*x^n anfängt kann man als Produkt aller seiner Nullstellen darstellen  also als (x-x₁)*(x-x₂)*.....(x-x_n)=pn(x) dabei kann im allgemeinen reelle und komplexe x_i auftreten, die komplexen kommen immer in Paren von konjugiert komplexen. wenn du also einen EW=0 hast kann es nur ein Polynom der Art x*p_n-1 sein. über die anderen Nst weisst du nur, jedes Polynom ungeraden Grades hat mindestens eine reelle Nullstelle

hast du nur reelle Nst kann man es in ein Produkt von reellen Linearfaktoren zerlegen.

Gruß lul

Comments

Danke für die Antwort :)

Also kann ich so, wie ich es beschrieben habe noch nicht davon ausgehen das das charakteristische Polynom in linearfaktoren zerfällt, weil ich die anderen Eigenwerte nicht kenne und es theoretisch noch komplexe geben könnte.

Das Polynom X*(X-1)*(X² +1) hat komplexe und reelle Nullstellen und unter anderem die nullstelle 0.

Wenn ich weiß, dass ich nicht im komplexen bin, sondern im reellen, kann ich dann schreiben "der endomorphismus hat die Eigenwerte 0 und 1"? (Wenn das Polynom oben das charakteristische Polynom der Abbildungsmatrix dieses endomorphismuses ist)

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Hallo

so was wird wohl nicht vorkommen , wenn du eine lin- Abbildung von R^4 nach R4 hast. wie sollte die reelle Matrix, die so was tut denn aussehen?

Gruss lul

Answer 2

  Du betrachtest  immer einen Vektorrsum  V über  Körper  K  . Damit ist die Säkulardeterminante erst mal ein Polynom aus  Ring    ===>  K  [  x  ]    Nimm etwa  K  =  |R  .  Trotzdem sind dann Fragen Sinn voll wie

   "  Sind die Eigenwerte dieser Matrix ganzzahlig?  Gibt es rationale eigenwerte?  "

   Wer hätte sich nicht schon über  "  krumme  "  (Quadrat)wurzeln geärgert?

    Mit dem ===>  Fundamentalsatz der Algebra  besitzt ja jedes  (  reelle )  Polynom komplexe   Eigenwerte . Um diese auszunutzen,  musst  du den reellen Vektorraum allerdings komplex aufrüsten.  Das geht;  du musst nur komplexe  Linearkombinationern  zulassen.

Comments

Also heißt das, das ich davon ausgehen kann das das charakteristische Polynom -die Säkulardeterminante - vollständig in Linearfaktoren zerfällt, unter der Bedingung, dass ich über dem R arbeite und es einen Eigenwert /lambda = 0 gibt? (Statt 0 könnte man glaube ich auch "reeller Eigenwert" schreiben

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    Wann immer die  Nullstelle  x0  des Polynoms  p  (  x  )  vorkommt in dem Körper  K  ,  kannst du sie als Linearfaktor abspalten

     p  (  x  )  =  (  x  -  x0  )  g  (  x  )            (  1  )

    Wenn du beispielsweise  ein reelles Polynom hast, spalten erst mal alle reellen Eigenwerte ab.

    Aber nimm z.B. ein  Polynom über  |Q  wie  (  x  ³  -  2  )   Seine Wurzel  2  ^ 1/3   ist nicht rational; du müsstest daher her gehen und den Körper |Q  erweitern,   bis sie abspaltet.

   Worauf du jetzt mit Eigenwert  Null hinaus willst, verstehe ich nicht.  Gegenfrage:  Hast du verstanden, dass der  Eigenraum  zu Eigenwert  Null nichts anderes ist als der Kern der Matrix?

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   Gerade lese ich mir die Unterpunkte deiner Fragen etwas genauer durch. Da geht es ja  Holterdipolter.

    <<   Wenn eine Matrix   A 

   <<  nur komplexe eigenwerte hätte,

     <<   hätte sie im reellen keine Eigenwerte

     <<  und damit existiert auch kein cp

    Unsinn.      Das  cP  ist  det  (  A  -  µ  *  1  )      Jede Matrix hat eine Determinante;  Determinanten existieren uneingeschränkt.  Nur.  Grundfrage der Algebra ist,  ob ein Polynom schon in dem Grundkörper K  ,  etwa in |R  , seine wurzeln hat bzw. zerfällt oder ob man da erst in einen Erweiterungskörper gehen muss.

    <<   Wenn sie reelle Eigenwerte hat,

    <<    kann man

    <<   ein charakteristisches Polynom aufstellen,

     <<  das nur aus linear Faktoren besteht.

    Ist richtig.  Klingt aber komisch.  Denn du stellst keine Linearfaktoren ( LF ) auf, sondern die  SD  .  Und die  ZERFÄLLT    dann in  LF  .

     <<   Ich bin mir nicht sicher,

    <<   ob die Aussagen

    <<    "Matrix hat reelle Eigenwerte => charakteristisches

    <<   Polynom zerfällt in linearfaktoren"

     <<   allgemein gilt

   <<  oder es vielleicht ein Gegenbeispiel gibt

   <<    in der ein Charakteristisches Polynom

     <<  eine Mischung

     <<   aus reellen und komplexen Eigenwerten hat?

     Aktiviere mal dein Schulwissen.  Wann immer ein  Polynom eine reelle Wurzel hat, spaltet es sie als  LF  ab.   Versuch doch nmal, diesen Sachverhalt mittels  Polynomdivision zu beweisen.

   Natürlich muss ein Polynom nicht nur reelle Wurzeln haben; da können auch noch komplexe drunter sein.  Was dich aber zu intressieren hat:  Komplexe Wurzeln eines reellen Polynoms treten immer in Pärchen auf - komplex konjugiert.  Versuch mal, das zu beweisen.-

    <<  Frage etwas anderes formuliert:

   <<    "wenn gegeben ist,

   <<  dass ein Eigenwert 0 existiert,

   <<  kann man dann davon ausgehen

   <<   das das charakteristische Polynom

     <<   vollständig in linearfaktoren zerfällt ?

    <<   Falls ja,

    <<   mit welcher Begründung

    <<   und falls nein: habt ihr vielleicht ein Gegenbeispiel?

    Ich protestiere.  Hier hast du  " keinen vorherigen Fragepunkt anders formuliert  "   Sondern du laberst blühenden  Unsinn.  wichtiger als meine Antwort  : Mich würde mal intressieren, wer dir diesen Quatsch eingesagt hat.  Weil irgendwoher musst du das ja haben.

   Nochmal;: hast du kapiert, dass der Eigenraum zum eigenwert  Null nichts weiter ist als der Kern der Matrix  ?

   Natürlich kann eine Matrix neben dem eigenwert  Null auch noch andere ( reelle oder komplexe  )  Eigenwerte haben.  Bloß:  Was willst du damit eigentlich beweisen; was soll das  Ganze?

   Ich bin mir sicher,  dass kein  Prof sowas sagt.  Kennst du etwa   Bier trinkende  Kommilitonen, die beim  Kommers so einen  Stuss labern?
    chara