Für homogene Polynome f ≠ 0 und g ≠ 0 vom Grad d bzw. e ist fg ein homogenes Polynom vom Grad d + e

Question

Bekanntlich ist der Polynomring R[x₁], mit R ein Integritätsrings, wieder ein Integritätsring. Somit ist R[x₁; x₂] := R[x₁][x₂] wieder ein Integritätsring (f ∈ R[x₁][x₂] ist ein Polynom in x₂ mit Koeffizienten Polynome aus R[x₁]), und induktiv definiert man R[x1;...; x_n] := R[x₁;...; x_n-1][xn]. Durch ausmultiplizieren kann man  f ∈ R[x₁;...; x_n] als Summe f = Σ c_αx^α schreiben, wobei  x^α := ∏ⁿ _i=1 x_i^αi  mit α = ( α₁;...; α_n) ∈ ℕⁿ, und c_α ∈ R (nur endlich viele der cα seien ungleich 0). Wenn |α| := Σⁿ _i=1 α_i , dann ist der Grad von f gleich max{|α| : c_α ≠ 0}.

Man zeige: für homogene Polynome f ≠ 0 und g ≠ 0 vom Grad d bzw. e ist fg ein homogenes Polynom vom Grad d + e (warum gilt fg ≠ 0?).