Man zeige, dass jede Äquivalenzklasse in k[X]/(P ) einen Polynom vom Grad < 5 enthält.

Question

Aufgabe:

Sei k ein Körper und P ∈ k[X] ein Polynom vom Grad 5. Man zeige,
dass jede Äquivalenzklasse in k[X]/(P ) einen Polynom vom Grad < 5 enthält.

Hey, ich habe hier eine Aufgabe die zur Klausurvorbereitung dient. Ich habe leider keine Ahnung wie ich die Aufgabe angehen soll und wäre um jede Hilfe sehr glücklich!

Answer 1

$K[X]$ ist euklidisch. Ist nun $Q\in K[X]$, so gibt es ein $R\in K[X]$,

so dass $deg(Q-R\cdot P)< deg(P)=5$. Es ist $R\cdot P\in (P)$

und daher $Q\equiv Q-R\cdot P$ mod $(P)$.

q.e.d.

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Vielen Dank!!!