Man zeige, dass jede Äquivalenzklasse in k[X]/(P ) einen Polynom vom Grad < 5 enthält.

Question

Aufgabe:

Sei k ein Körper und P ∈ k[X] ein Polynom vom Grad 5. Man zeige,
dass jede Äquivalenzklasse in k[X]/(P ) einen Polynom vom Grad < 5 enthält.

Hey, ich habe hier eine Aufgabe die zur Klausurvorbereitung dient. Ich habe leider keine Ahnung wie ich die Aufgabe angehen soll und wäre um jede Hilfe sehr glücklich!

Answer 1

\(K[X]\) ist euklidisch. Ist nun \(Q\in K[X]\), so gibt es ein \(R\in K[X]\),

so dass \(deg(Q-R\cdot P)< deg(P)=5\). Es ist \(R\cdot P\in (P)\)

und daher \(Q\equiv Q-R\cdot P\) mod \((P)\).

q.e.d.

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Vielen Dank!!!