Höhenwachstum einer Pfingstrose

Question

Das Höhenwachstum einer Pfingstrose wurde in einer Messreihe erfasst.

t (in Tagen)   0         4          8         12         16

h(t) (cm)      2,0      3,5      6,13     10,73    18,79

a) Zeichnen Sie den Graphen der Funktion h.

b) Weisen Sie nach, dass unbegrenztes exponentielles Wachstum vorliegt.

c) Wie groß ist die mittlere Wachstumsgeschwindigkeit in den ersten 10 Tagen und die momentane zu Beginn des 10. Tages?

d) Wann erreicht die Pflanze eine Höhe von 40 cm?

Answer 1

a)

Du hast mehrere Punkte und kannst eine Exponentialfunktion aufstellen.

y=b*a^x

Nehmen wir uns zwei Punkte:

P(0|2)

Q(4|3.5)

2=b*a^0 ∧ 3.5=b*a^4

2=b*1  ∧ 3.5=2*a^4

b=2  ∧ a=^4√(3.5/2)

b=2 ∧ a=1.1502

y=2*1.1502^x

Können wir auch eine kleine Punktprobe machen:

f(8)=2*1.1502^8≈6.125=6.13

Jetzt kannst du den Graph auch zeichnen.

b)

Nun musst du nachweisen, dass dieser Graph streng monoton steigend ist!$$f'(x)>0 \quad \text{Streng monoton steigend}$$$$f'(x)<0 \quad \text{Streng monton fallend}$$https://www.desmos.com/calculator/hcim6lk8nh

Comments

Hallo Janet,

Hast du einen Casio-Taschenrechner? Wenn ja, welchen. Ich habe gerade herausgefunden, dass man ohne die Ableitung selbst zu bilden, gucken kann, ob sie streng monton fallend oder streng monton fallend ist.

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Langt es wirklich festzustellen, das der graph streng monoton steigend ist?

Auch ein begrenztes Wachstum ist streng monoton steigend.

Wir müssen bei b) eigentlich nachweisen das die Funktionswerte unendlich groß werden.

Alternativ darf man wissen, dass eine Exponentialfunktion

y = a * b^x

für alle a > 0 und b > 1 ins Unendliche wächst.

Answer 2

Das könnte so aussehen

Comments

Wie bist du bei d) auf die h(t)= 4 gekommen?LG

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Ich glaube, dass man eigentlich mit 40cm rechnen sollte anstatt mit 4.

Er hat folgendes gemacht:

4=2*1.1502^t

t≈4.95

Ich denke, dass man mit 40cm rechnen muss:

40cm=2*1.1502^t

t≈21.41

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Danke Antoooooon für die Verbesserung. Muss natürlich 40 lauten anstatt 4.

Answer 3

Der Faktor des jährlichen Wachstums sei a. Dann hat die gesuchte Funktion die Form f(t)=2a^t. Einsetzen eines Wertepaares aus der Tabelle ergibt a¹⁶=18,79 und dann a≈1,15. Mit der Funktionsgleichung f(t)=1,15^t kann man alle Teilaufgaben lösen.

Comments

Ich verstehe nicht ganz, kannst du das ausführlicher erklären ? Ist deine Antwort zu Aufgabe b)? LG Janet

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Meine Antwort ist Grundlage für alle Aufgabenteile. Einzelheiten kannst du den anderen Antworten entnehmen.

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Hallo Roland,

kleiner Fehlerhinweis
f(t)= 1,15^t
sondern
f ( t ) = 2 * 1,15^t

mfg Georg

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Weiter heißt die Funktion h und nicht f und t skaliert in Tagen und nicht in Jahren.