Beweise mittels vollständiger Induktion folgende Ungleichung

Question

Wie muss ich nun weiter vorgehen? Habe leider keine Idee wie diese Aufgabe zu lösen ist, kann nicht mit der Ungleichung umgehen.

Comments

Deine Induktionsbehauptung und dein Induktionsschritt sind falsch.
Sicher, dass es nicht \(\displaystyle\sum_{i=1}^n\frac1{i^2}\le2-\frac1n\) heißen soll?

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Ja die Ungleichung ist genau so gegeben. Also einfach nur kleiner 2 und ohne - 1/n.

Answer 1

Ab Induktionsbehauptung ist es voellig falsch. Wenn Du mit dem Summenzeichen auf Kriegsfuss stehst, dann schreibe die Summen aus.

Die Aussage ist so nicht dazu geeignet, mit vollstaendiger Induktion bewiesen zu werden. Wenn die Summe der ersten n Glieder < 2 ist, woher soll man denn dann wissen, dass das (n+1)-ste die Summe nicht ueber 2 schubst? Dazu muesste man schon etwas mehr ueber die Summen wissen. Z.B. wie weit sie unterhalb von 2 liegen.

Du koenntest z.B. die schaerfere Behauptung $$\sum_{k=1}^n\frac{1}{k^2}\le2-\frac{1}{n}$$ per vollstaendiger Induktion beweisen.

Comments

Also muss ich mir bei so einem Aufgabentyp eine schärfere Behauptung überlegen und beweisen und habe dadurch, das schon die schärfere Behauptung wahr ist, die andere gleich mit bewiesen?

Ist das so richtig verstanden?

Für mich ist das ganze Thema noch ziemlich neu  also Blicke ich da leider noch nicht wirklich durch.

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Das ist kein Aufgabentyp, das ist ein Witz mit Pointe. Ob man Dir noch viele Witze mit gerade dieser Pointe erzaehlen wird, ist fraglich. Jedenfalls ist klar: Wenn man mehr zeigt als verlangt, hat man die Aufgabe natuerlich gleich mitgeloest.