Zeigen Sie mittels vollständiger Induktion folgende Ungleichung.

Question

Zeigen Sie mittels vollständiger Induktion die Ungleichung

\( \left(\frac{n}{3}\right)^{n}<n !<\left(\frac{n}{2}\right)^{n} \)

für alle n >= 6. Dabei dürfen Sie die Abschätzung

\( 2 \leq\left(\frac{n+1}{n}\right)^{n} \leq 3 \)
verwenden.

Der Induktionsanfang ist offensichtlich, ich habe aber beim Induktionsschritt Probleme...den linken Teil der Ungleichung habe ich noch problemlos (ohne die gegebene Ungleichung) gelöst, an der rechten Seite verzweifle ich aber, ich weiß einfach nicht, wie ich diese gegebene Ungleichung da einsetzen soll...

Comments

Der Induktionsschritt zum rechten Teil der Ungleichung könnte etwa wie folgt aussehen:$$\left(\frac{n+1}2\right)^{\!n+1}=\left(\frac{n+1}2\right)\cdot\left(\frac{n+1}{\color{blue}n}\right)^{\!n}\cdot\left(\frac{\color{blue}n}2\right)^{\!n}>\frac{n+1}2\cdot2\cdot n!=(n+1)!\quad\checkmark$$