Menge von Ereignissen... vereinbar mit der Wahrscheinlichkeitsrechnung ?

Question

ich bräuchte mal bitte eure Hilfe bei folgender Aufgabe:

Für eine Menge von Ereignissen {A,B,C,D} sind die folgenden Wahrscheinlichkeiten gegeben:

P(A)=0.4

P(B)=0.2

P(C)=0.1

P(D)=0.8

1) Sind die Wahrscheinlichkeiten für {A,B,C,D} vereinbar mit der Wahrscheinlichkeitsrechnung, wenn die Aussagen {A,B,C,D} paarweise disjunkt sind?

2) Sind die Wahrscheinlichkeiten für {A,B,C,D} vereinbar mit der Wahrscheinlichkeitsrechnung, wenn {A,B,C,D} eine Zerlegung der Ergebnismenge Ω bildet?

Comments

Zu 2) :

Müssen Elemente einer Zerlegung disjunkt sein oder nicht?

Answer 1

wenn die Aussagen {A,B,C,D} paarweise disjunkt sind

Dann ist P(A∪B∪C∪D) = P(A) + P(B) + P(C) + P(D).

Sind die Wahrscheinlichkeiten für {A,B,C,D} vereinbar mit der Wahrscheinlichkeitsrechnung

Damit sie vereinbar mit der Wahrscheinlichkeitsrechnung sind, muss P(A∪B∪C∪D) ≤ 1 gelten, weil A∪B∪C∪D ⊆ Ω ist.

Comments

Ich hätte jetzt vermutet, dass 

Dann ist P(A∪B∪C∪D) = P(A) + P(B) + P(C) + P(D).

zur "Zerlegung" gehört.

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Passt auf beides. Für Zerlegungen gilt darüber hinaus noch A∪B∪C∪D = Ω. Aber  die paaweise Disjunktivität reicht schon für P(A∪B∪C∪D) = P(A) + P(B) + P(C) + P(D).

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Danke. "Paarweise disjunkt" und "elementfremd" ist in dem Fall dasselbe?

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"elementfremd" habe ich noch nie gehört. "Paarweise disjunkt" bedeutet, dass wenn man aus dem Mengensystem {A,B,C,D} zwei Mengen wählt, dann sind diese mit auf jeden Fall disjunkt.

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https://de.wikipedia.org/wiki/Disjunkt offenbar dasselbe. 

Answer 2

1) Sind die Wahrscheinlichkeiten für {A,B,C,D} vereinbar mit der Wahrscheinlichkeitsrechnung, wenn die Aussagen {A,B,C,D} paarweise disjunkt sind?

Nein, dann P(A) + P(D) = 1.2 > 1. D.h. A und D können nicht disjunkt sein.