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Kann mir jemand die Euler´sche Zahl und das ganze mit ln(  erkären?

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Am besten geht das anhand einer konkreten Aufgabe. Unterricht machen ist hier schwierig.

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  Es ist super easy. Kannst du schon "  aufleiten "  ? Ich zitiere hier das Telekolleg von 1975 .

   Bekanntlich stellt die Hochschulmatematik die Welt vom Kopf auf die Füße.  Was normale Menschen beweisen, setzt die Uni voraus; und was Normalos unbesehen glauben, beweist sie. Und sie hat ihre Gründe dafür.

     Logaritmus ist definiert als das Integral



                              x

      ln  (  x  )  :=     $    1 / t  dt   ;  x  >  0       (  1  )

                             1



     Erste Folgerungen.


    ln  (  x  )  <  =  >  0  ;  x  <  =  >  1      (  2a  )


     und insbesondere


      ln  (  1  )  =  0     (  trivial  )      (  2b  )


   Wenn du so vorgehst, musst du natürlich die ganze Formelsammlung rauf und runter beweisen;  denn wenn nur eine Formel nicht stimmt, kann das, was wir definiert haben, nicht Logaritmus sein.  Nehmen wir das logaritmische Rechengesetz


     ln  (  x  y  )  =  ln  (  x  )  +  ln  (  y  )      (  3a  )


    der Beweisgedanke; wir intressieren uns für die Funktion


    f_a  (  x  )  =  ln  (  a  x  )  ;  a  >  0     (  3b  )


     ihre Ableitung findes t du unschwer mit der Kettenregel


      f  '  (  x  )  =  1 / ( a x )  *  a  =  1 / x    (  3c  )


   Damit haben aber ( 1;3c ) die selbe Ableitung; sie können sich daher nur unterscheiden um eine  ===>  Integrationskonstante.


       ln  (  a  x  )  =  ln  (  x  )  +  C    (  4a  )


   C finden wir aus ( 2b ) , indem wir in ( 4a ) setzen x = 1


     C  =  ln  (  a  )      (  4b  )


    Jetzt C rück substituieren in   ( 4a )


     ln  (  a  x  )  =  ln  (  a  )  +  ln  (  x  )     (  4b  )   ; wzbw


    Ich fand das ein sehr schönes Kapitel Analysis.  Die Vorlesung streifte noch weitere diesbezügliche Fragen; soll ich es fortsetzen?

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