Bestimme \mathrm{c} so, dass die Graphen zu den Funktionen mit den Gleichungen \mathrm{y}=4 …

Question

Text erkannt:

9. Bestimme \( \mathrm{c} \) so, dass die Graphen zu den Funktionen mit den Gleichungen \( \mathrm{y}=4 \cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{\mathrm{x}} \) und \( \mathrm{y}=\left(\frac{1}{2}\right)^{\mathrm{x}+\mathrm{c}} \) übereinstimmen.

Text erkannt:

Die C-14-Methode Die Gesetzmäßigkeit des radioaktiven Zerfalls erlaubt es, näherungsweise das Alter
z.B. von historischen Knochen- und Holzfunden zu ermitteln. Verursacht durch die kosmische Strahlung wird in der Atmosphäre ständig das radioaktive Kohlenstoffisotop C-14 gebildet. Es stellt sich ein gleich bleibendes Verhältnis C\( 14: \mathrm{C}-12 \) ein, welches etwa \( 1:\left(1,67 \cdot 10^{11}\right) \) beträgt. Die C-14-Isotope gelangen durch Fotosynthese in lebende Pflanzen und in Tiere durch die Aufnahme pflanzlicher Nahrung. Ihre Anzahl steht demzufolge dort im gleichen Verhältnis zu den C-12Isotopen wie in der Atmosphäre. Stirbt das Lebewesen, wird kein neues \( \mathrm{C}-14 \) aufgenommen; durch radioaktiven Zerfall sinkt die Anzahl \( N \) der \( \mathrm{C}-14 \) -Isotope und damit auch der Anteil gegenüber den C-12-Isotopen. Die Verringerung der Anzahl \( N \) erfolgt in Abhängigkeit von der Zeit \( t \) exponentiell.
a) Bei einem 3560 Jahre alten Holzfund war der Anteil der C-14-Isotope auf \( 65 \% \) des anfänglich darin enthaltenen C-14-Anteils \( N_{0} \) gesunken. Ermittle anhand dieser Angabe das Zerfallsgesetz von C-14 in Abhängigkeit von der Ausgangskonzentration \( N_{0} \) und der Zeit \( t \) sowie die Halbwertzeit von \( \mathrm{C}-14 . \) Vergleiche mit einem Tabellenwert.
b) Stelle das Verhältnis C-14 : C-12 grafisch in Abhängigkeit von \( t \) dar.
c) In einem Knochenfund beträgt das Verhältnis \( \mathrm{C}-14: \mathrm{C}-12 \) nur noch \( 1:\left(12 \cdot 10^{11}\right) \).
Ermittle näherungsweise das Alter des Knochenfunds.
d) Welches Verhältnis C-14 : C-12 ist in der Mumie Ramses II. († 1224 v. Chr.) zu erwarten?

Answer 1

a) Bei einem 3560 Jahre alten Holzfund war der Anteil der C-14-Isotope auf \( 65 \% \) des anfänglich darin enthaltenen C-14-Anteils \( N_{0} \) gesunken.

Exponentielle Abnahme:

        \(N(t) = N_0\cdot q^t\)

Einsetzen von \(N(t) = 65\%\cdot N_0\) und \(t=3560\) liefert

        \(65\%\cdot N_0 = N_0\cdot q^{3560}\).

Löse die Gleichung um \(q\) zu bestimmen und setze oben ein. Außerdem ist

        \( N_0 = \frac{1}{1,67 \cdot 10^{11}} \).

Halbwertszeit bekommst du indem du

        \(\frac{1}{2}N_0 = N_0\cdot q^t\)

löst.

c) In einem Knochenfund beträgt das Verhältnis \( \mathrm{C}-14: \mathrm{C}-12 \) nur noch \( 1:\left(12 \cdot 10^{11}\right) \).Ermittle näherungsweise das Alter des Knochenfunds.

Löse die Gleichung

        \(\frac{1}{12 \cdot 10^{11}} = N_0\cdot q^t\),

natürlich nachdem du die Werte für \(q\) und \(N_0\) eingesetzt hast.

d) Welches Verhältnis C-14 : C-12 ist in der Mumie Ramses II. († 1224 v. Chr.) zu erwarten?

Setze den entsprechenden Wert für \(t\) in die Gleichung

        \(N(t) = N_0\cdot q^t\)

ein, natürlich nachdem du die Werte für \(q\) und \(N_0\) eingesetzt hast.

Comments

Hallo Oswald, bei
N(t) / N0 = 0.65 = q^3560
streikt mein Matheprogramm. Wieso ?
q = ?

---

Weil es ein schlechtes Matheprogramm ist. \(q = 0{,}65^{\frac{1}{3560}}\)

---

Oder es rechnet mit komplexen Zahl und ist von der Anzahl der Lösungen einfach überwältigt.

---

Nöh,
das Programm ist in Ordnung.
Ist wohl ein (sehr) seltener Fehler.
Nobody is perfect.

Answer 2

Aloha :)

$$4\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^x=2^2\left(\frac{1}{2}\right)^x=\left(\frac{1}{2}\right)^{-2}\left(\frac{1}{2}\right)^x=\left(\frac{1}{2}\right)^{x-2}\quad\implies\quad c=-2$$

Answer 3

n ( t ) = n0 * q ^(t) 
n ( t ) / n0 = q ^(t) 

n ( 3560 ) / n0 = q ^(3560) = 0.65
q ^(3560) = 0.65
q = 0.999879

n(t) =  0.999879 ^(t)

Probe
n(3560) = 0.999879 ^3560 = 0.65 bingo

Halbwertzeit
n ( t ) / n0 = q ^(t)   = 0.5
q ^(t)  = 0.5
0.999879 ^(t)  = 0.5
t = 5728 Jahre ( Literatur 5730 )