Ableitung und Integral als stetige Abbildung (metrische Räume)

Question

Für differenzierbares, bzw. integrierbares  f:[a,b]→ℝ definieren wir

D[f](x)=f′(x) und I[f](x)=∫xaf(t)dt.

Zeigen Sie, dass dadurch stetige Abbildungen

D:(Cn+1([a,b]),dCn+1) -> (Cn([a,b]),dCn)

I:(Cn([a,b]),dCn) -> (Cn+1([a,b]),dCn+1)

zwischen den angegebenen metrischen Räumen beschrieben werden. Sind sie sich glm stetig?

Ich habe bei folgender Aufgabe Probleme. Mir fällt es schwer einen Ansatz zu finden. Schon alleine wie ich die angegebenen Informationen auf die Definition der Stetigkeit zwischen Meter räume anwenden kann. Würde mich über jegliche Hilfe freuen.

Answer 1

Zur Stetigkeit von \(D:C^{n+1}[a,b]\to C^n[a,b]\) in \(f_0\in C^{n+1}[a,b]\):

Zu jedem \(\varepsilon>0\) muss ein \(\delta>0\) existieren, so dass für alle \(f\in C^{n+1}[a,b]\) gilt: $$d_{C^{n+1}}(f,f_0)<\delta\quad\Longrightarrow\quad d_{C^n}(D[f],D[f_0])<\varepsilon.$$ Das ist die Definition, keine eigene Idee. Im naechsten Schritt braucht man immer noch keine eigene Idee, man traegt natuerlich die Definitionen der Metriken ein. Bist Du so weit gekommen?

Comments

Soweit bin ich gekommen, jedoch ist die metrik nicht genauer definiert oder übersehe ich da etwas?

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Ohne die Definition der Metrik kann man die Aufgabe nicht machen. Das sollte zumindest dem Aufgabensteller klar sein. Er wird sicher was dazu gesagt haben.

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Ich habe herausgefunden wie die Metriken definiert sind.

d_C^n (f,g) = Summe von k=0 bis n d_C^0  (f^{n},g^{n}), wobei d_C^0 = max |f(x) - g(x)| mit     x ∈ [a,b] unf f^n und g^n die n-ten Ableitungen sind. Ich versuche dann erstmal weiter an der Aufgabe.