Fixpunkt für kompakte metrische Räume

Question

Aufgabe:

Moinsen, vielleicht kann mir jemand helfen, dass was im Hinweis stegt zu beweisen. Den Rest habe ich schon (ohne stetigkeit meiner metrik auszunutzen; Statt A kompakt X kompakt)

Comments

Du hast nicht geschrieben, dass Du die Folge \((x_n)\) so wählst, dass (InfimumsEigenschaft)

$$d(f(x_n),x_n)  \to a$$

Wegen der Kompaktheit von A besitzt \((x_n)\) ein in A konvergente Teilfolge. Wegen der Stetigkeit von f und von d kann man dann schließen, dass für den Grenzwert gitl: $$d(f(x_0),x_0)=a$$

Gruß Mathhilf

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Danke erstmal für die Antwort, stetigkeit kann ich nicht verwenden, hatten wir noch nicht. Gut und A müsste ich doch erst zeigen, dass sie kompakt ist. Aber dann ist es doch eh klar, dass wegen der Abgeschlossenheit das Infinum in A liegt?

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Entschuldigung, hatte mich verschrieben. Es reicht ja, dass X kompakt ist, um zu wissen, dass eine konvergente Teilfolge existiert. Wie man ohne Stetigkeit von d zum ERgebnis kommt, sehe ich nicht.

Gruß Mathhilf