Vollständige Induktion

Question

da ich demnächst meine Nachklausur in Mathe 1 schreiben werde und mit sehr hoher Wahrscheinlichkeit eine dieser Aufgaben drankommen wird.

Zu Teilaufgabe c) habe ich bereits einen Ansatz, über Lösungswege der anderen Aufgaben wäre ich euch sehr dankbar,
da ich rein gar nichts mit dem Thema anfangen kann.

Hoffentlich kann mir jemand helfen.

Schonmal
 

Answer 1

Zeige: ∑ (k = 1 bis 2^n) 1/k ≥ 1 + n/2

Induktionsanfang: n = 0

∑ (k = 1 bis 2^0) 1/k ≥ 1 + 0/2
1 ≥ 1 + 0/2
stimmt.

Induktionsschritt: n --> n + 1

∑ (k = 1 bis 2^{n + 1}) 1/k ≥ 1 + (n + 1)/2
∑ (k = 1 bis 2·2^n) 1/k ≥ 1 + (n + 1)/2
∑ (k = 1 bis 2^n) 1/k + ∑ (k = 2^n + 1 bis 2·2^n) 1/k ≥ 1 + (n + 1)/2
1 + n/2 + ∑ (k = 2^n + 1 bis 2·2^n) 1/k ≥ 1 + (n + 1)/2

∑ (k = 2^n + 1 bis 2·2^n) 1/k
Anzahl Summanden: 2·2^n - (2^n + 1) + 1 = 2^n
Abschätzung der Summanden nach unten: 1/(2·2^n)

1 + n/2 + 2^n·1/(2·2^n) ≥ 1 + (n + 1)/2
1 + n/2 + 1/2 ≥ 1 + n/2 + 1/2
stimmt.

Comments

Vielen Dank, Coach!
Den Anfang hab ich auch noch so hinbekommen, beim Schritt bzw. Schluss hab ich meine Probleme, kann es aber mit Hilfe deines Beitrags einfach nachvollziehen. 
Stark!

Wäre schön wenn du mir noch bei der b) helfen könntest, dann hab ich soweit alles unterm Hut und kann mit gutem Gewissen in die Klausur ;)

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Ich dachte du probierst b zunächst mal alleine. Wenn du aber Probleme hast kann ich gerne helfen.

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Zur b):

Induktionsanfang: n = 1

∑ (k = 1 bis n²) 1/√k ≥ n 
1/√1 = 1 ≥ 1
stimmt.

Induktionsschritt: n → n+1

∑ (k = 1 bis (n + 1)²) 1/√k

≥  ∑ (k = 1 bis n²) 1/√k + ∑ (k = n+1 bis (n + 1)²) 1/√k

≥ ∑ (k = 1 bis n²) 1/√k + 1/√n+1

⇒ ∑ (k = 1 bis (n + 1)²) 1/√k  ≥ n + 1/√n+1 

Soweit wäre mein Ansatz gewesen. 
Würden wir nun n = 1 als Gegenprobe setzten:
∑ (k = 1 bis 4) 1/√1 + 1/√2 + 1/√3 + 1/√4   ≥ 1 + 1/√2
≈ 1 + 0,7 + 0,6 + 0,5 ≥ 1 + 0,7
≈ 2,8 ≥ 1,7
stimmt.

Würde mich über eine Korrektur meines Ansatzes freuen. 

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Das rote müsstest du vereinfachen

Induktionsschritt: n --> n + 1
∑ (k = 1 bis (n + 1)^2) 1/√k ≥ n + 1
∑ (k = 1 bis n^2) 1/√k + ∑ (k = n^2 + 1 bis (n + 1)^2) 1/√k  ≥ n + 1
n + (2·n + 1)·1/√(n + 1) ≥ n + 1
(2·n + 1)·1/√(n + 1) ≥ 1
n ≥ 0
stimmt

Überlege dir dazu wie viele Summenden man hat und welches der kleinste Summand ist.

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Wie tust du da die unten Summaden abschätzen?