Beweisen Sie mit vollständiger Induktion

Question

Bei IS verstehe ich gar nicht den Schritt vor dem IV auf das Gleichzeichen steht.

Ich hätte es so gemacht: (-1)^{k+1} * 1/k + (-1)^{2(n+1)+1} * 1/(2(n+1)) und danach das:

1/(n+k) + (-1)^{2(n+1)+1} * 1/(2(n+1))

Wäre echt dankbar wenn mir jemanden erklären warum das flasch wäre und wieso und wie man das machen sollte :)

Answer 1

Es geht einfach darum durch geschicktes Umschreiben deine Induktionsvoraussetzung (IV) wieder zu gewinnen. Und das macht man einfach, indem man die letzten beiden Summenglieder 2n+1 und 2n+2 von der Summenformel abspaltet. Dann geht diese dann nur noch bis 2n, anstatt bis 2(n+1)=2n+2. Und da sieht man auch schon, dass das die Summe $$ \sum_{k=1}^{2n}(-1)^{k+1}\frac{1}{k}$$ die IV war. Und schon kann man diese mit der anderen Summenformel  $$ \sum_{k=1}^n\frac{1}{n+k}$$ ersetzen. Die letzten beiden Summanden bleiben dann einfach stehen. Der Rest ist dann nur noch Indexverschiebung, sodass man letztendlich den Induktionsschritt auf n+1 zeigt.

Answer 2

Hallo Vane,

bei der Umformung nach  =^IV  wurde doch nur beim 1. Summanden die Induktionsvoraussetzung (IV) angewendet, die in der 1. Zeile steht.

Bei der Umformung davor wurden aus \(\sum\limits_{k=0}^{2·(n+1)} ...\) =  \(\sum\limits_{k=0}^{2n+2} ...\) die beiden letzten Summanden für k=2n+1 und k=2n+2 separat hingeschrieben.

Gruß Wolfgang