Hinge erst mal davon ab, welche Randbedingungen du für diese gedämpftzrr Schwingung hast; du wirst geführt auf ein gekoppeltes LGS in den beiden Unbekannten c1;2.
Da du aber mit dem bissele Produkt-und Kettenregel nicht zu Recht kommst und sich auch sonst niemand erbarmt, mach ich dir das jetzt.
f ' ( t ) = [ ( 2c2 - c1 ) cos ( 2 t ) - ( c1 + 2 c2 ) sin ( 2 t ) ] exp ( - t )