Matrix diagonalisieren in F3

Question

wie zeigt man, dass die folgende Matrix in $$ ℤ_3 $$ nicht diagonalisierbar ist?

$$ \begin{pmatrix}  0 & 2 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} $$ Das charakteristische Polynom ist $$ \lambda^2 + \lambda + 1 $$ Wie sieht man in $$ ℤ_3 $$ ob dieses Polynom in Linearfaktoren zerfällt oder nicht?

Comments

Tipp: \(\lambda^2+\lambda+1=(\lambda+2)^2\).

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Stimmt, danke für den Hinweis!

Answer 1

  Zunächst mal; wie stellt man  eine 2 X 2 Säkulardeterminante auf?  In den Büchern wird das immer so Mega umständlich erklärt.  Und da sellemer uns janz domm; unne sagemer so:  Wir machen den Ansatz

      p  (  x  ;  A  )  =  x  ²  -  p  x  +  q       (  1  )

    Ach übrigens; bei mir besteht F3 aus den drei Elementen

        (  -  1  )  ;  0  ;  1       (  2a  )

         Dann hast du die Matrix

        0             -  1

        1              -  1            (  2b  )

    Aber was ist p und q in  ( 1 ) ?  Vieta das geschmähte Stiefkind

    p  =  E1  +  E2  =  Sp  (  A  )  =  (  -  1  )     (  3a  )

   q  =  E1  E2  =  det  (  A  )  =  1          (  3b  )

   p  (  x  ;  A  )  =  x  ²  +  x  +  1     (  3c  )

    Bei der Art großer Auswahl scheint Raten legitim;  da die  ===>  Charakteristik von F3  gleich  3 beträgt,  ist E1 = 1 sofort eine Wurzel von ( 3c ) ;  1 + 1 + 1 = 0  So wohl aus  ( 3a ) als auch ( 3b ) folgt , dass auch die andere Wurzel Eins sein muss.

   Es kann aber nur einen Eigenvektor geben;  bzw. ( 3c ) ist gleichzeitig das Minimalpolynom bzw. ein quadratischer Elementarteiler  (  ET  )

        p  (  x  ;  A  )  =  (  x  -  1  )  ²          (  4  )

    denn wäre dieser  ET linear, müsste  A ja die Einheitsmatrix sein.