Kombinatorik: 10-maliges Ziehen aus einer Urne mit 2 Kugelsorten ohne zurücklegen und Beachtung der Reihenfolge.

Question

10 Schüler ziehen aus einer Urne mit je 5 roten und 5 blauen Kugeln ohne ihre Kugel zurückzulegen. Wie viele mögliche Gruppenzusammensetzungen gibt es?

Es geht um ein Problem im Bereich der Kombinatorik, bei dem ich einer kleinen Denkblockade zum Opfer fiel. Wenn ich ziehen ohne zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge höre, denke ich immer an n über k. Aber in diesem Fall wird ja K = 10 mal gezogen was dann auf 10 über 10 = 1 hinauslaufen würde. Wo liegt mein Denkfehler? Die Gruppenzusammensetzung kann variieren, aber in welchem Zug welches Mitglied hinzukam ist ja egal.

Ich bin wirklich dankbar um jeden Tipp :)

Answer 1

In der Überschrift schreibst du noch mit Beachtung der Reihenfolge und in der Berechnung dann plötzlich Ohne Beachtung der Reihenfolge.

Mit Beachtung der Reihenfolge ist schon richtig Weil

rbrbrbrbrb etwas anderes ist als rrrrrbbbbb

Dummerweise tauchen hier Elemente mehrfach auf, das ist im Urnenmodell überhaupt nicht vorgesehen. Macht aber nichts. Dafür gibt es die Formel der Permutation mit Wiederholungen.

Es gibt beim Ziehen der Kugeln

10! / (5! * 5!) = 252 Reihenfolgen

Wenn es also eine Rote und eine Blaue Gruppe gibt dann gibt es 252 mögliche Zuordnungen. Haben die Gruppen keine Namen und sind die Gruppen vertauschbar dann gibt es nur 252/2 = 126 Möglichkeiten.

Comments

Mit Beachtung der Reihenfolge ist schon richtig Weil

rbrbrbrbrb etwas anderes ist als rrrrrbbbbb

Woher weiß man das? In der Fragestellung steht doch nichts davon.

Ich finde, dass das ohne Beachtung der Reihenfolge ist, denn es steht nix von irgendwelchen verschiedenen "Wertschätzungen" der Kugeln. Es ist vielleicht letztendlich egal, wer welche Kugel gezogen hat.

Es wird doch hier eh die gesamte Grundmenge betrachtet.

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Die Reihenfolge müsste eigentlich egal sein. Ist ja egal, zu welchem "Zugzeitpunkt" ein Schüler in Gruppe rot oder blau landet. Wichtig dürfte nur sein, in welcher Gruppe er schlussendlich gelandet ist.

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Ja, dafür gibt es dann 252 Kombination, wenn die roten Kugeln nicht untereinander unterscheidbar sind.

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Woher weiß man das? In der Fragestellung steht doch nichts davon.

Was bedeutet es denn

rbrbrbrbrb

1. Schüler zieht rot
2. Schüler zieht blau
... usw.

rrrrrbbbbb

1. Schüler zieht rot
2. Schüler zieht rot
... usw.

Ist das jetzt das gleiche oder etwas anderes? Im ersten Fall befindet sich Schüler 2 in einer anderen Gruppe als Schüler 1. Im zweiten Fall befinden die sich in der gleichen Gruppe.

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Statt die Kugeln zu ziehen kann man aber auch alle 10 Schüler in eine Urne werfen und dann die 5 Schüler ziehen die in der Roten Gruppe sind. Dann ist das ohne beachtung der Reihenfolge, weil es egal ist ob ich gleich den Schüler 1 ziehe oder erst an 5. Stelle.

Allerdings ist dieser Versuch etwas anderes als eben die roten und blauen Kugen zu ziehen.

Answer 2

10 Schüler ziehen aus einer Urne mit je 5 roten und 5 blauen Kugeln ohne ihre Kugel zurückzulegen. Wie viele mögliche Gruppenzusammensetzungen gibt es?

Das ist Permutation mit Wiederholung, da es Objekte gibt, die du nicht unterscheiden kannst:$$\begin{pmatrix} 10! \\ 5,5 \end{pmatrix}=252$$ Das ist der Multinomialkoeffizient, das entspricht:$$\frac{10!}{5!\cdot 5!}=252$$