Konvergenz und Häufungspunkt

Question

Ich würde mich freuen, wenn mir jemand sagen könnte wie ich diese Aufgabe lösen kann:

Zeigen Sie, dass eine konvergente Zahlenfolge in einem metrischen Raum (X, ρ) genau
einen Häufungspunkt besitzt.

Mir ist bewusst das eine konvergente Zahlenfolge nur einen Grenzwert besitzt und daher auch nur einen Häufungspunkt, aber wie kann ich das als Beweis aufschreiben?

und noch einen schönen sonnigen Tag!!!

Answer 1

indirekt:

angenommen es gibt zwei verschiedene Häufungspunkte p und q

und deren Abstand ist  c= d(p,q).

Einer (etwa p ) ist ja der Grenzwert.

Betrachte die ε-Umgebungen mit ε=c/2 um

p und q.  Dann liegen von einem n an, alle Folgenglieder

in der ε-Umgebung von p, also nur endlich viele außerhalb.

Da die ε-Umgebung von q komplett außerhalb der ersten

liegt, kann sie nicht unendlich viele Folgenglieder enthalten,

also ist q kein Häufungspunkt. Widerspruch !