folgen Konvergenz häufungspunkt

Question

a) Sei (z_n)_n eine Folge in ℂ, (w_n)_n eine Nullfolge. Zeigen Sie, dass für z ∈ ℂ gilt:
z ist Häufungspunkt von (z_n)_n ⇔ z ist Häufungspunkt von (z_n + w_n)_n

b) Zeigen Sie: Enthält die Menge Z := {z_n : n ∈ N} für eine Folge (z_n)_n in ℂ nur endlich viele Elemente, so ist jeder Häufungspunkt von (z_n)_n bereits in Z enthalten.

Answer 1

z ist Häufungspunkt von (zn)n ⇔ z ist Häufungspunkt von (zn + wn)n

zu ==>:   Sei z ein Häufungspunkt von  (z_n)_n∈ℕ 

==> In jeder ε-Umgebung von z liegen unendlich viele Folgenglieder.

 und wegen  " (w_n)_n∈ℕ  ist eine Nullfolge " gilt:

Zu jedem ε>0 gibt es ein no, so dass für alle n>no gilt |w_n| < ε .

Sei nun also ε >0.  Dann gibt es ein no, so dass für alle

n>no gilt |wn| < ε/2 .    Und in der ε/2-Umgebung von z

 liegen unendlich viele Folgenglieder mit einem Index größer als no .

also gilt für n > no

  |wn| <  ε/2     und   | zn - z | <  ε/2

==>     |wn|   +  | zn - z | <  ε

und mit der Dreiecksungleichung:

  |wn   + zn - z | <  ε

und das besagt  wn+zn  in der ε-Umgebung von z.

Comments

Wie geht die Umkehrung „<==" ? Ja