Bezauberndes Gattemirl; um diese Aufgabe zu verstehen, brauchst du zwar keine ===> Elementarteiler. Trotzdem wäre es ungemein hilfreich, damit du erst mal weißt, in welche Richtung du zu denken hast. Gesagt ist also Rang ( f ) =: r . Dann möchte ich gleich noch setzen
s := dim Kern ( f ) ( 1 )
Weil dann gilt ja erst mal
r + s = ( 2 )
Wenn aber das Bild immer im Kern liegen soll, kann folglich r nie größer sein als s . Nimm als Beispiel n = 10 , also V = |R ^ 10 . Extrem wäre doch s = 10 , also ganz V ist der Kern. Dann folgt selbst redend r = 0 , also das Bild ist iNdentisch gleich Null. Das andere Extrem wäre das kleinst mögliche s, also s = 5 . Dann müsste auch r = 5 , und Kern und Bild werden identisch.
Fallunterscheidung; im Falle r = 0 wäre deine Matrix A die Nullmatrix A = 0 und ihr Minimalpolynom folglich
f ( x ) = x = 0 = nullpolynom ( 3 )
In allen anderen Fällen bleibt ja im " ersten Zug " noch etwas von V stehen, nämlich ein nicht trivialer Unterraum von Kern ( f ) Da wir uns aber im Kern befinden, geht dieser Rest gleich beim zweiten Mal über den Jordan; wir haben eine ===> nilpotente Matrix mit A ² = 0 und folglich minimalpolynom
p_min ( x ; A ) = x ² ( 4 )
