Hilfe bei Relationen - Ein Beispiel mit Modulo, dass ich nicht verstehe.

Question

Achtung! Langer Text aber kurze Fragen (a), (b) und (c) ganz unten in roter Farbe. 

1. Die Definition:
Sei X eine beliebige Menge. Eine Bezeichnung " \( \sim \) " zwischen den Elementen der Menge X heisst Äquivalenzrelation, falls folgende Eigenschaften erfüllt sind. 

1) \( \forall x \in  X:\quad x\sim x\quad \) (Reflexivität) 

2) \( \forall x,y \in X:\quad x\sim y\quad \Rightarrow \quad y\sim x \) (Symmetrie) 

3) \( \forall x,y,z \in  X:\quad x\sim y\quad und\quad y\sim z\quad \Rightarrow \quad x\sim z \) (Transistivität)

Der Ausdruck "\( x\sim y \)" wird stets "x ist äquivalent zu y" gelesen und falls \( x\sim y \) gilt, so nennt man x und y äquivalent (bezüglich der Äquivalenzrelation \( \sim \) ).



2. Was kann ich ? Einfaches Beispiel 

3. Anderes Beispiel -> Das kann ich nicht! 

Sei p ∈ ℕ. Für n, m ∈ ℤ setze: n\( \sim \)m ⇔ n=m mod p. Zeige, dass \( \sim \) eine Äquivalenzrelation auf ℤ definiert. 

Erinnerung: n=m mod p ⇔ ∃k∈Z: n=m + k*p

4.) Frage (a),  Frage (b) und Frage (c)


Modulo habe ich glaub ich im Griff. 

1	2	3	4	5	6	7
8	9	10	11	12	13	14
15	16	17	18	19	20	21

1 ist "kongruent" zu 8    : 1 ≡ 8 mod 7, denn 1 = 0*7 +1 und 8 = 1*7 +1 
2 ist "kongruent" zu 16  : 2 ≡ 16 mod 7, denn 2 = 0*7 +2 und 16 = 2*7 +2 

Frage (a): 
Wie kann das von den zwei oben genannten Beispielen in die Form n = m + k*p
"übersetzt" werden? Also welche Zahl ist m oder n? k*p ist klarer. 
Ich glaube wenn ich das so verstehen würde, würde ich den Rest eventuell besser verstehen.

Frage (b): 
Die Art die Symmetrie zu zeigen verstehe ich in diesem Beispiel nur teilweis. 
Es soll gelten, dass m=n auch als n=m geschrieben kann ohne dass sich Werte verändern: 
Wenn also m = n + kp ist, und n = m - kp , 

dann muss m=n: n + kp = m - kp sein.
Für die Symmetrie gilt dann: m - kp = n + kp. Augrgrund der Symmetrie auch: n + kp = m - kp.

Ist diese Überlegung richtig? (Ich kann ja nicht "überprüfen" ob das tatsächlich wahr ist.)

Frage (c):
Tranisistivität: Um dies zu zeigen, führt er eine weitere Variable "l" ein.
Darf man das ohne irgendwie zu definiere dass "l" Element von irgendwas ist?

Vielen Dank allerseits! 

Comments

Ich glaube ich habe die Antwort zu Frage (a) selbst herausgefunden:

n = Zahl aus der "Modulo-Tabelle".
m = Teilungsrest, der übrig bleibt wenn n durch p dividiert wird.
p = "Modulo-Zahl" selbst.
k = Ein Vielfaches von p.

So zeigte ich, dass in Modulo 5
2 ≡ 7. Weil die 2 und die 7 in mod 5 den gleichen Teilungsrest m besitzen. 

Bild:

Answer 1

Hallo

zu a) 16=2mod 7 also 16=2+2*7  hier dein n=16, m=2, p=7., k=2 oder 73=17 mod7 denn 73=17+8*7 ; n=73, m=17, k=8

b) hast du zu umständlich gemacht: n=m wenn n=m+k₁*p, m=n wenn m=n+k₂*p das ist richtig, da k₂=-k₁

c) ganz oben in deiner Mitschrift steht n,m,l ∈ ℤ wenn das da nicht stünde, müsste man es vor Einführung von l sagen, da sich aber alles in ℤ abspielt ist es eh klar. und für Transitivität braucht man eben 3 Elemente.

Gruß lul

Comments

Vielen Dank !

Deine antwort zu a und c habe ich komplett verstanden.

Die Symmetrie jedoch nicht ganz. Also ich „sehe“ nicht, was ich gezeigt habe.

Ganz generell  muss man bei der Symmetrie zeigen, dass zb:

x = y

auch

y = x „wahr“ ist.

Ich denke, dass das bei einer Äquivalenzrelation immer möglich ist im Gegensatz zu „>“ oder beispielsweise „<“.

Ist meine überlegung richtig ?

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Hallo

 ja, > und < sind keine symmetrischen Relationen,

was du gezeigt hast:

 Wenn 17=73 mod 7 dann auch 73=17 mod 7

denn 17=73-8*7 und 73=17+8*7

nur dass du das allgemein geschrieben hast mit m und n  und p statt 17 und 73  und 7

Da ihr das = Zeichen statt das ≡ oder ein anderes Relationszeichen ist es etwas eigenartig n=m -> m=n zu folgern stört dich das?

Gruß lul

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Stimmt, jetzt habe ist alles klar ! :-)

Danke !

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Ja das „=“ ist vom Buch, ansonsten benutzen wir das: Ξ