Bei welchen der nachfolgenden Relationen in der Menge M={1,2,3,4,5} handelt es sich um eine Äquivalenzrelation?
Hinweis: Wählen Sie alle Äquivalenzrelationen, und nur diese(!), aus.
a) {(1,1),(1,2),(3,3),(4,4),(5,5),(2,2),(4,5),(5,4)}
b) {(1,1),(1,2),(1,3),(3,3),(4,4),(5,5),(2,2),(4,5),(5,4),(2,1),(3,1)}
c) {(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(4,5),(3,3),(5,4),(4,4),(5,5)}
d) {(1,1),(1,2),(1,3),(2,3),(3,2),(2,2),(3,3),(2,1),(3,1)}
e) {(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5)}
f) M×M
Ansatz:
Hallo, ich hab ein paar Verständnisfragen zu Relationen(Äquivalenzrelationen), die ich gerne anhand dieses Beispiels veranschaulichen möchte.
Ich weiss das die zutreffenden Lösungen e,f und c sind.
Ich gehe einfach mal chronologisch durch und schreibe meine Lösungen bzw. Fragen dazu:
a) kann keine ÄR sein, da das Paar (2,1) fehlt und somit keine symmetrie gegeben ist.
b) ist keine Äquivalenzrelation, da für die transitivität die Paare (2,3) und (3,2) fehlen. ( Sollte ich allerdings die Paare (1,3) und (3,1) entfernen, oder (2,1) und (1,2), dann wären es doch ÄRen?
c) siehe weiter unten...
d) ist keine ÄR, da die Paare (4,4) und (5,5) fehlen
e) Hier stellen sich mir nun dieselbe fragen wie zuvor in c auch...
Warum gilt für die Reflexiven Paare, also (1,1) (2,2) usw. auch die symmetrie und die transitivität?
Reflexiv: x R x, also 1R1 ist klar, wäre dann für symmetrie: x R y ⇒ y R x, dann für x=1 und y=1 also 1R1 ⇒ 1R1?
und bei transitivität: xRy und yRz ⇒ xRz, dann für x=1 y=1 und z=1 also 1R1 und 1R1 ⇒1R1? Geht das so?
f) ist klar da für MxM alle möglichen Kombinationen von Paaren in der Relation existieren
Ich hoffe ich habe mich einigermaßen verständlich ausgedrückt und ihr könnt ein wenig meine gedankengänge nachvollziehen. Ich bin sehr dankbar für jede Erklärung und Antwort eurerseits.^^
