Mensch so geht die Teorie doch an. Du musst nur den Greub oder den Kowalsky abschreiben.
die Säkulardeterrminante ( SD ) vergiss erst mal; die ist doch gar nicht wichtig.
" Die kriejemer speeter. "
Wenn du in der Algebravorlesung wirklich aufgepasst hast, wirst du wissen, dass das wichtigste Polynom einer Nullstelle x0 ihr Minimalpolynom ist.
Das sind wirklich erste Schritte; ein Polynom, das den ganzen Raum V platt macht - und das Polynom ist ja minimal - muss zu jedem Eigenvektor e_j auch den entsprechenden Linearfaktor ( LF ) ( x - E_j ) bzw. ( A -E_j * 1| ) enthalten. Doch machen wir es uns nicht zu einfach.
Bisher haben wir bewiesen:
E_j Eigenwert ===> E_j Nullstelle des Minimalpolynoms.
Aber ich möchte doch auch die Umkehrung zur Sprache bringen.
x_j Nullstelle des Minimalpolynoms =====> x_j Eigenwert
Zu diesem Zweck müssen wir uns den ===> Elementarteiler ( ET ) Nr. j zu Gemüte führen; das ist der Faktor in dem Minimalpolynom
T_j := ( x - x_j ) ^ n_j ( 1a )
Diesem ET adjungieren wir einen Komponentenraum ( KR ) V_j Unter V_j will ich den " Nilraum " von T_j verstehen. Damit meine ich den Kern von
T_j ( A ) := ( A - x_j * 1| ) ^ n_j ( 1b )
Die Minimalität unseres Polynoms bringt es aber mit sich, dass der Kern von ( 1c )
( A - x_j * 1| ) ^ ( n_j - 1 ) ( 1c )
niemals ganz V_j umfassen kann.
Sei nun e_j ein Eigenvektor aus V_j . Die Rechnung findet sich in den Büchern wirklich ausführlich. Angenommen der Eigenwert von ( A - x_j * 1| ) sei F . Dann folgt: Der Eigenwert von T_j in ( 1b ) muss sein
F ^ n_j = 0 ===> F = 0 ( 2 )
sonst würde T_j ja V_j nicht verrnichten. Denken wir daran: Die Einheitsmatrix vertuscht mit allen Matrizen; darum ist x_j der ( einzige ) eigenwert von A auf V_j .
Das einzige Problem, das sich uns hier wirklich stellt, ist ja ein typisches Vollständigkeitsproblem. Die Zerlegung in eine Basis von Eigenvektoren ist ja im Allgemeinen nicht direkt; die nach KR schon.
Man könnte auch sagen: Es " bleibt nix stehen " Der ganze Raum V wird nach Schubladen V_j einsortiert entsprechend den eigenwerten.
Ich sage dies deshalb, weil hier eigentlich das Scharnier greift, warum, wieso und weshalb das Minimalpolynom die SD teilt. Man muss einfach mal von Unten nach Oben denken.
Auf V_j gibt es nur Eigenwert E_j ; die lokale SD lautet also
p_ ( x : A , j ) = ( x - E_j ) ^ ( dim V_j ) ( 3 )
Zwei Beobachtungen.
1) Das Minimalpolynom vernichtet pro Zug eine Dimension, der Grad des ET ist daher höchstens gleich der Dimension des KR .
2) die Determinante einer direkten Summe ( " Kästchenmatrix " ) ist gleich dem Produkt aus den Unterdeterminanten.
3) Das Minimalpolynom teilt die SD .
