Warum zerfällt das folgende Polynom über dem Restklassenring modulo 25 in Linearfaktoren?

Question

Aufgabe:

Staatsexamen (Algebra vertieft) Frühjahr 2017 - Thema 1 Aufgabe 5 b.)

Gegeben ist die Matrix

\(A= \begin{pmatrix} -1 & 3 & -1\\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0& 0 \end{pmatrix} \)

Zu zeigen ist:

Die Matrix ist über F_125 nicht diagonalisierbar, aber über F_25 schon.

Problem/Ansatz:

Jetzt hab ich das charakteristische Polynom aufgestellt und folgendes erhalten:

\(X_{A}= -(X-1)*(X^2 +2X+3)\)

Das stimmt auch soweit. Jetzt meine Frage:

Damit das Polynom über F_25 diagonalisierbar ist, muss es ja in Linearfaktoren zerfallen, aber wenn ich eine Wertetabelle von 1-24 zum zweiten Faktor erstelle, erhalte ich kein Ergebnis, das ein Vielfaches von 25 ist.
Trotzdem soll es laut Lösung Nullstellen für dieses Polynom über F_25 geben.

Das kapier ich allerdings nicht. Müsste nicht eine oder zwei Zahlen zwischen 1-24 eine Nullstelle (also ein Vielfaches von 25) dieses Faktors sein oder hab ich hier ein falsches Verständnis von Polynomen über Modulo-Ringen?

Comments

Das Polynom hast du richtig berechnet. Über das Vorzeichen könnte man sich jetzt streiten. Bei mir sind char.Poly. immer normiert.

Damit das Polynom über F_25 diagonalisierbar ist, muss es ja in Linearfaktoren zerfallen, aber wenn ich eine Wertetabelle von 1-24 zum zweiten Faktor erstelle, erhalte ich kein Ergebnis, das ein Vielfaches von 25 ist.

Du nimmst an, dass \( \mathbb F_{25} = \mathbb Z / 25 \mathbb Z \) ist. Und das ist falsch!

Nur für Primzahlen p kann man \( \mathbb F_{p} \) als \( \mathbb Z / p \mathbb Z \) darstellen.

Wenn du einen Körper mit Kardinalität einer echten Primzahlpotenz betrachtest, also z.B. eben mit 25 oder 125 Elementen, kannst du das nicht einfach als Restklassenring mod 25 oder mod 125 darstellen.

Eine gängige Darstellung dieser Körper ist die Darstellung als Restklassenring des Polynomrings über dem Primkörper. Z.B. ist $$ \mathbb F_{25} \cong \mathbb F_5[T]/\langle T^2 + 2 \rangle $$ $$ \mathbb F_{125} \cong \mathbb F_5[T]/\langle T^3+ 4T + 2 \rangle $$

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Ah ok. Vielen Dank.

Jetzt seh ich wo mein Denkfehler war und jetzt macht auch die Lösung deutlich mehr Sinn.

Answer 1

Und die Lösung ist rein algebraischer Natur, da muss man auch nicht wirklich etwas rechnen.

Zuerst kümmert man sich um \( \mathbb F_{25} \):

Du weißt \( x^2 + 2x + 3 \) hat keine Nullstellen in \( \mathbb F_{5} \). Das kannst du hier ja mit einer Wertetabelle zeigen. Also ist es irreduzibel über \( \mathbb F_{5} \), d.h.
$$\mathbb F_{25} \cong \mathbb F_5[T]/\langle T^2 + 2T+3 \rangle $$
Wenn du jetzt das charakteristische Polynom über \( \mathbb F_{25} \) ausrechnest ist es wieder \( (x+4)(x^2+2x+3) \). Der Witz ist jetzt aber, dass wir eine sehr einfache Nullstelle vom zweiten Faktor kennen. Nämlich die Restklasse \( [T] \), denn
$$ [T]^2 + 2 [T] + 3 = [T^2+2T+3] = [0] $$
Also zerfällt das char. Poly. schon mal über \( \mathbb F_{25} \)  in Linearfaktoren, aber das heißt nicht, dass die Matrix auch diagonalisierbar ist. Was müsstest du zusätzlich noch zeigen?

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Z.B. dass es in paarweise verschiedene Linearfaktoren zerfällt. Da \( [T] \) schon eine NST ist, darf die andere also nicht auch [T] sein. \( (x-[T])^2 \neq x^2+2x+3  \). Also ist das erfüllt.

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Dann über \( \mathbb F_{125} \):

Naja nehmen wir mal an, dass \( x^2 + 2x + 3 \) über \( \mathbb F_{125} \) eine Nullstelle hätte und nennen wir diese mal \( \alpha \). Wir wissen wieder, dass \( \alpha \notin \mathbb F_5 \). Also haben wir einen Körperturm
$$ \mathbb F_5 \subsetneq \mathbb F_5(\alpha) \subseteq \mathbb F_{125} $$
Nach der Gradformel für endliche Körpererweiterungen ist somit
$$ 3 = [ \mathbb F_{125} : \mathbb F_5  ] = [ \mathbb F_{125}: \mathbb F_{5}(\alpha)] \cdot [ \mathbb F_{5}(\alpha): \mathbb F_{5}] $$
Was kannst du jetzt über \( [ \mathbb F_{5}(\alpha): \mathbb F_{5}] \) sagen?

[spoiler]

\(\alpha\) ist Nullstelle eines irreduziblen Polynoms vom Grad 2. Das ist somit sein Minimalpolynom. Der Grad der Körpererweiterung ist damit 2. Also steht da eine Gleichung der Form 3=x*2 und das ist offensichtlich ein Widerspruch.

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