Zu 1; ein Veektorraum ist, wenn es das Bild von |R ³ unter einer Matrix ist. Im Falle von U1 ist es die Matrix
2 0 0
A1 := 1 0 0 ( 1 )
0 1 0
Man sieht auch sofort: Rang ( A1 ) = 2 ( Spalte 3 verschwindet iNdentisch. ) Offenbar stellen die beiden ersten Spalten die Basisvektoren von U1 dar:
B1;1 = ( 2 | 1 | 0 ) ; B1;2 = ( 0 | 0 | 1 ) ( 2a )
und entsprechend für U2
B2;1 = ( 1 | 1 | 0 ) ; B2;2 = B1;2 ( 2b )
Zu 2) ; da gibt es von Vorn herein zwei Möglichkeiten. Ein Vektor, der so wohl in U1 als auch in U2 liegt, ist von der Form
v1 = ( 2 a | a | b ) = v2 = ( a | a | b ) ( 3a )
Koeffizientenvergleich x-Komponernte
2 a = a ===> a = 0 ( 3b )
v = ( 0 | 0 | b ) ( 3c )
Die alternative Möglichkeit; du bildest die Schnittmenge aus den beiden Basen B1 und B2 in ( 2ab ) ; und dann überlebt allein der Vektor B1;2 in Übereinstimmung mit ( 3c )
Bei Frage 3) darfst du dich nicht ins Horn des Boxers jagen lassen. Doch das weiß ich genau; der Boxer hat ein Horn. In einem Philophiebuch fand ich nämlich mal die Definition des " Höv " Der Höv , von " (Hö)rner (v)erloren " , sei der Mann, der seine Hörner verloren hat.
Wär doch schön, gäbe es einen Höv. Da hätte der Mann, dem frau Hörner aufsetzt, wenigstens die Chance, sie wieder zu verlieren ...
Also; U1 + U2 ist der (Unter)raum, der von der Vereinigung der beiden Basen B1 und B2 aufgespannt wird in ( 2ab ) ( Warum? )
B ( U1 + U2 ) = { B1_1 ; B2_1 ; B2_2 } ( 4a )
Und da drängt sich der Verdacht auf, da es drei Vektoren sind, dass bereits
U1 + U2 = |R ³ ( 4b )
Das ist es, was ich mit dem Bockshorn meintete. Bilden wir Linearkombinationen
2 x + y = c1 ( 5a )
x + y = c2 ( 5b )
z = c3 ( 5c )
( 5a-c ) bilden ein linear unabhängiges LGS ; jeder Vektor ( c1 | c2 | c3 ) € |R ³ lässt sich ( eindeutig ) mittels der Basisvektoren ( 4a ) darstellen.
Damit habe ich deine Fragen so weit beantwortet; mein Sinnen und Trachten geht jedoch danach, etwas mehr geometrische Anschaulichkeit in die Sache zu bringen. Anschaulich ist ein 2 D Unterraum des |R ³ doch weiter nichts als eine Ebene. Und die beiden Basisvektoren ( 2a ) beschreiben die Parameterform ( PF ) der Ebene U1
u := ( 2 | 1 | 0 ) ; v := ( 0 | 0 | 1 ) ( 6a )
U1 ( r ; s ) := r u + s v =: P € U1 ; r , s € R ( 6b )
Dabei möge P ein unbestimmter Punkt der Ebene U1 sein.
P = ( x | y | z ) ( 6c )
Was wir suchen, ist die Koordinatenform ( KF )
E = E ( x ; y ; z ) = 0 ( 7 )
Jetzt mache ich ein kleines Vexierspiel mit den Begriffen UnBESTIMMTE und Unbekannte. Nein sage ich; P wird mit einer Reißzwecke fest gepinnt oder mit Uhu angeklebt. Wir wollen es als fest gegeben betrachten; dann aller Dings wird ( 6b ) zu einem LGS zur Bestimmung der beiden Unbekannten r und s . Und zwar ist seine Koeffizientenmatrix ( KM ) vom Format 2 X 3 und hat ( offensichtlich ) Rang 2 .
Dann ist aber die ===> Erweiterte KM von ( 6b ) QUADRATISCH vom format 3 X 3 und eben Falls Rang 2 ; ihre DETERMINANTE VERSCHWINDET .
Warum Rang 2 ? Gemäß einem Lehrsatz der AGULA besitzt ( 6b ) eine Lösung in r und s genau dann, wenn sich der Vektor der rechten Seite schreiben lässt als Linearkombination der Basisvektoren, wenn also die KM und ihre Erweiterung den selben Rang habenn:
det ( u | v | P ) = 0 ( 8 )
Was selbst die meisten Studenten nicht wissen: Anschaulich bedeutet die Determinante ein Spatvolumen ===> Spatprodukt .
Kleiner IQ-Test gefällig?
Quadrat verhält sich zu Rechteck wie Würfel zu? Zu Quader.
Rechteck verhält sich zu Parallelogramm wie Quader zu? Zu Spat.
Und in ( 8 ) sind die drei Vektoren P , u und v komplanar; ihr Volumen verschwindet.
Mein Musiklehrer Pauli, dem ich immer auf der Blockflöte vorexerzieren musste und der uns die Lebensdaten von Haydn, Händel und Bach abhörte - einzig diese drei Herren seien wichtig - war sehr Teorie lastig. Und wenn er mit seinen Teoriereferaten geendet hatte, verfiel er in die Geflügelworte
" So. Das war die Teorie; und jetzt folgt die Praxis. Ihr solltet Latein lernen; selbst mein Hund hört auf lateinische Kommandos ... "
In diesem Sinne; setzen wir ( 6a;c ) ein in Determinante ( 8 )
| 2 0 x |
det = | 1 0 y | = 0 ( 9a )
| 0 1 z |
Hier bietet sich wirklich Entwickeln an nach Spalte 2 .
det = U1 = - | 2 x |
| 1 y | = 2 y - x = 0 ( 9b )
Hier kann das sein? In der Darstellung von U1 kommt z gar nicht vor; und trotzdem vefläuft ja Basisvektor v bzw. B1;2 in z_richtung.
Alles im grünen Bereich; die Ebene U1 verläuft vertikal; die z-achse verläuft ganz innerhalb U1 . Und für U2 entsprechend
U2 = y - x = 0 ( 9c )
Was ist jetzt dieser Schnittraum U1 geschnitten U2? Wenn ich zwei Ebenen schneide
E1 ( x ; y ; z ) = 0 ( 10a )
E2 ( x ; y ; z ) = 0 ( 10b )
Allgemein gilt
Rang ( LGS ) + dim Kern ( LGS ) = n ( 10c )
Der Rang ist 2 ( zwei Gleichungen ) und n die Anzahl Unbekannte. D.h. der Kern wird ein eindimensionaler Strahl, die ===> Knotenlinie der Ebene.
( max Zeichen )
