Näherungsweise Bestimmung der Kreiszahl pi

Question

Aufgabe:

Archimedes benutzte bei seinem Verfahren die Methode der Eckenverdopplung, indem er mit Hilfe des Satzes von Pythagoras aus dem Umfang  eines n-Ecks den Umfang des 2n-Ecks bestimmte. Er begann bei der Berechnung der Umfänge mit dem regelmäßigen 6-Eck und berechnete daraus den Umfang des regelmäßigen 12-Ecks usw. Die Iterationsformel zur Berechnung des Umfangs u_2n des einbeschriebenen 2n-Ecks aus dem Umfang u_n des einbeschriebenen n-Ecks in heutiger Schreibweise:

u_2n = 2_n*s_2n = 2n*√1/2-1/2√1-(u_n/n)² ( s_2n soll der Kreisbogen sein). Dabei geht man von einem Kreis mit einem Radius von einer halben Längeneinheit aus.

Leite die oben angegebene Formel her und berechne mit dem Taschenrechner die Werte für n=6,12,24,48,96.

Problem/Ansatz:

Wie geht das, Danke und Grüße

Answer 1

Hi,

wenn Deine angegebene Formel $$ u_{2n} = 2n \sqrt{ \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \sqrt{ 1- \left( \frac{u_n}{n} \right)^2  } } = 2n \sqrt{ \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \sqrt{ 1- s_n^2  } } $$ lauten sollte, dann ist sie falsch. Richtig lautet sie $$ s_{2n} = \sqrt{  2 - \sqrt{ 4 - s_n^2 } } $$ und $$  u_{2n} = 2n \cdot s_{2n} $$ Kann man durch Iteration, beginnend mit \( s_6 = 1 \) nachrechnen.

Ansonsten siehe hier

https://www.uni-wuerzburg.de/fileadmin/10040500/mitarbeiterfiles/ruppert/ml_165/Archimedes_ungekuerzt.pdf oder

https://siebler-guth.de/wp-content/uploads/2017/11/2_Umfang.pdf

Comments

Vielen Dank!

Answer 2

Vorgehen:

Zeichne einen Kreis mit Mittelpunkt M.

Zeichne einen Radius.

Zeichne einen weiteren Radius 30° nach oben, und einen 30° nach unten.

Die Schnittpunkte der Radien mit dem Kreis seien A, B, C.

Verbinde A mit C; Du hast nun ein gleichseitiges Dreieck; die Strecke AC ist Seite eines regelmäßigen Sechsecks.

Verbinde A mit B und B mit C; die Strecken AB und BC sind Seiten eines regelmäßigen 12-Ecks.

Aus den Seiten des 6-Ecks kannst Du nun die Seiten des 12-Ecks bestimmen, aus diesen dann die Seiten eines 24-Ecks, dann 48-Eck, usw.

Wenn Du richtig rechnest, kannst Du die Formel von 6-Eck auf 12-Eck direkt auf 12-Eck nach 24-Eck und von 24-Eck auf 48-Eck anwenden.

(Das Ganze wird äußerst lustig, wenn Du exakt mit Wurzeln und Potenzen rechnest und immer wieder verschachtelte Wurzeln vereinfachen darfst.)

Comments

Vielen Dank, das mit der Zeichnung ist mehr oder weniger klar, aber woher kommen da zweimal 1/2 in der Formel, können Sie das bitte an einem Rechenbeispiel zeigen? Danke und Grüße